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Analyse fonctionnelle
1
+oo Arctg x
Arctg x
Or
-:i:- 1 -dx converge car f(x) = - - 1 - est> 0 sur ]0,+oo[
o
e -
e:i:continue, la fonction f tend vers 1 en 0, et f(x) ,..., - 2
71" en +oo; de plus
eX
l lfl loo existe, (j --+ 0 en +oo et continue sur [O, +oo[) donc
lfo+oo e-:: A~c;gx dxl ~ llflloo fo+oo e-n:i: = llf~oo
on a donc
~ Uk = 1+oo Arctg x dx -1+oo e-n:i: Arctg x dx
L.J
e:i:-1
e:i:-1
k=l
0
0
.
1+oo Arctg x
.
qw tend vers
- - 1 -dx s1 n tend vers +oo.
Q
eX -
n
8. Dans Pn = II ( 1 + n~), les : 2 sont majorés par~· donc en prenant les
k=l
logarithmes on peut utiliser un développement de Log ( 1 + x).
Avec x = ~, il faudra sommer des k 2 , ce qui donne n(n ~ l), et les
n
n
n
k2
n3
x 2 = 4 fournissent une expression en 4 : on peut conclure avec un
n
n
développement à l'ordre 2.
2
Soit Log (1 + x) = x - x 2 + x 2 e(x) avec lim e(x) =O.
:i:-+O
Soit T/ > 0, 3a, lxl ~a=> le(x)I ~ T/·
k
1
1
Comme on a 0 ~ 2 ~ -, 3no, \;/n ~ no, - ~ a, on aura alors
n
n
n
avec lek,nl ~ T/·
On en déduit
l n
l n
nk2
Log Pn = n2 L k - 2n4 L k2 + L n4 ek,n
k=l
k=l
k=l
n
_ n(n + 1) __ l_ n(n + 1)(2n + 1) _!._ . """"'k2
-
2n2
2n4
6
+ n4 L.J ek,n
k=l
Or
l
~k2 1~ ~k2- n(n+l)(2n+l)
L.J E:k,n °"" T/ L.J - T/
6
k=l
k=l