Séries numériques, séries dans les espaces vectoriels normés
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est~ 2,
1
V n = - - - - -
(Log3n)2k+l
- 22~+1 ((Log (3n ~ 1))2k+l + (Log (3n ~ 2))2k+l)
_
1
(l - _ 1 [( Log3n ) 2 k+l
- (Log3n)2k+l
22k+l
Log(3n+l)
+ (Lo~(::: 2) rk+l l) .
Le crochet est majoré par 1 + 1 = 2, la parenthèses est minorée par
1 - 2 !k et k = 0 étant exclu, on a 1 - 2 !k > 0 donc Vn est minoré
par ( 1- 2 !k) (Log 3 ~) 2 k+l' terme général d'une série de Bertrand divergente donc u diverge.
7. L'intégrale 1+oo e-nx(Arctgx)dx est impropre en +oo, mais
e-nxArctgx ~ ie-nx, fonction dont l'intégrale impropre converge si
n ~ 1. Comme uo diverge,-on a (un existe)<=> (n ~ 1).
Une intégration par parties, (u = Arctgx, dv = e-nxdx d'où
dx
-nx
du= - 1
2 , v = __ e_)conduità
+x
n
[
e -nx] + 00
r+ 00 e-nx dx
Un= -(Arctgx)n
o + Jo
n(l + x2)'
soit
1 1+00 -nx
1 1+00
1
Un= -
~dx ~ -
e-nxdx= 2
n 0
l+x
n 0
n
comme les Un sont positifs, la série converge.
On peut calculer la somme sous forme d'intégrale. Pour x > 0, e-nx =f. 1 et
L
n -kx
e-(n+l)x - e-x
1 - e-nx
e
= - - - - - - = - - - -
e-x - 1
ex -1
k=l
donc
~uk = {+ 00 (Arctgx _ e-nxArctgx) dx.
L.,,
} 0
ex - 1
ex - 1
k=l
0