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Analyse fonctionnelle
et Un = (__.!_ - a) - - - 1 - + 0 (_!_) : la série diverge toujours, (si
Je
12Jen
n 2
1
1
-1
a=/= r;:.• Un ...-+ 0, si a= r;:.• Un ,...., 2 r;:. ).
ve
ve
1 yen
4.
On prend des équivalents suivant la place de lxl et de IYI par rapport à 1.
Si IYI < 1, Un ,...., xn converge {:} lxl < 1;
xn
si IYI = 1, Un = 2 converge {:} lxl < 1;
si IYI > 1, Un,...., ( ; 2 ) n converge{:} lxl < y 2 .
5. On a Un = 1+oo 1 :~3n > 1
1
1 :~3n > 1\ ~ l = ~ : Un ...-+ 0
donc la série diverge.
6.
La série des Un cherchée ne peut pas être absolument convergente, car dans
ce cas, Un tend vers 0, et dès que les lun J sont inférieurs à 1, pour p ~ 2,
lunJP ~ JunJ : la série des JunJP serait convergente. On doit donc avoir des
Un non de signe constant, donc (Un )P ne peut se définir que pour p entier
(ou rationnel à dénominateur impair).
cos ( n · 2 11")
Soit un =
L
3 , c'est le terme d'une série convergente par le
ogn
critère d'Abel, (Théorème 11.83) car 2
3 11" =/= 0(27r) et - L 1 tend vers 0 en
ogn
décroissant.
On constate ensuite que cos ( n · 2 ; ) ne prend que les valeurs 1 et - ~,
d
.
. ( )P '- l
l
d B
d di
one s1 p pair un
~ 2 P · (Log n )P, série e ertran ·vergente,
(ou bien .JTi, · 2P(L~gn)P tend vers +oo) :::} Lu~ diverge); et si p
n
impair, comme u~ tend vers 0 si n tend vers l'infini, en groupant les
termes 3 par 3 on obtient une nouvelle série v de même nature, avec
Vn = ( U3n) 2 k+l + ( U3n+i) 2 k+l + ( U3n+2) 2 ~+1, avec k ~ 1 car p = 2k+ 1