2.
3.
Séries numériques, séries dans les espaces vectoriels normés
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On a n 2 vn = e(Log n)( 2 -Log(Log n)). L'exposant tend vers -oo donc
lim n 2 vn = 0: la série des Vn converge, (critère de Riemann).
n-++oo
1
-1
On a u2p = ( 2 p)<>+l et u2p+l = ( 2 p + l)<>-1 ·
Si a > 2, les 2 séries extraites, (partition des indices) des u2p et des U2p+l
convergent donc u converge;
si 1 si a ~ 1, les lu2p+1 I sont ~ 1, Un -r+ 0 : la série diverge.
n(n-1)
Pour la série des Vn, il faut déterminer le signe de ( -1) ~ .
0
4k 4k(4k - 1)
. .
4k 1 (4k + 1)4k
. al
rsin= ,
2
estpair,sin=
+,
2
aussi ors
n(n -1)
que sin= 4k + 2 et 4k + 3, on a
2
qui vaut (2k + 1)(4k + 1) ou
(4k + 3)(2k + 1) donc qui est impair. On associe les termes 4 par 4, ce qui
ne modifie pas la nature de la série puisque Un tend vers O.
On obtient
Wk = U4k + U4k+l + U4k+2 + U4k+3• (pour k ~ 1)
1
1
1
1
= 4k + 4k+l - 4k+2 - 4k+3
2
2
= 4k(4k + 2) + (4k + 1)(4k + 3)
d'où Wk ,...., 4 k 1 2 : la série des Wk converge, celle des Un aussi.
k-++oo
P
n Log cos b
d 1
l' 'té ,.
à l' rdre
our un = e
v n - a, un éve oppement lilll s impose
o
l en .!, (comme il existe à tout ordre, si les termes constants et en .!
n
n
disparaissent Un sera 0 ( : 2 ) donc la série convergera).
1
.
1
On prend donc n Log cos r.;; à l'ordre 1, d'où le cosmus à l'ordre 2 en - :
yn
n
2
cos ~ = 1- 2
1 +~+o (--\) ;onutiliseLog(l+u) = u- u 2 +o(u 2 )
vn
n 24n
n
Log cos - 1 - = _ _.!_ + - 1 - - .! (- 1 - ) + o (_.!_)
y'n
2n
24n2
2 4n2
n2
1
1
( 1 )
= - 2n - 12n2 + 0 n2
d'où
nLogcos b
-l -.....k+o(l.)
1 (l
1
O ( 1 ))
e
vn = e ... e un
n = -
- -
+ -
..,/ë
12n
n2