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Analyse fonctionnelle
17. Nature de la série des ~n avec a> 0 et Pn nombre de chiffres de
n en base 10. Calcul de la somme en cas de convergence.
18. Déterminer
.
(
1
1
1
1
1)
n.!!~oo 1 + 2 + · · · + ; - n + 1 - n + 2 - · · · - n2 ·
19. Nature des séries de termes généraux Un
Log (1 + n!3xn)
c ~ 0, a ~ 0; et Vn =
, x > O.
20.
21.
1.
n°'
Soit y(x) et z(x) définis par x - y - y 3 = 0 et x - z + z 3 = O.
y(~)- z (~) 1/2
Etudier la série des Un avec Un = y ( ~) + z ( ~)
sin (7ry'n)
Etude de la série des
.
n°'
SOLUTIONS
1
Pour a ~ 0, et n assez grand, on a Un ~ Vn avec Vn =
L
, terme
n ogn
général d'une série de Bertrand divergente. (Voir 11.28)
Pour a > 0, la fonction t ""+ f(t) = L (L 1 L t)°' est positive
t ogt og og
décroissante pour t assez grand donc la série est de même nature que
l'intégrale impropre /+oc 1
(Ldt L ) . Comme (LogLogt)' =
t ogt og ogt °'
~ , le changement de variable x = Log(Log t) ramène à l'intégrale
i~p~;re /+oc dx d'où: la série des Un converge si et seulement si 'l: > 1.
X°'
So •
1
__ e-(Logn)Log(Logn)
itvn =
L
(Logn) ogn