Séries numériques, séries dans les espaces vectoriels normés
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10. Nature de la série de terme général
n2
n2
Un = Arcsin- 2 - - - Arcsin~ 2 .
n +1
n +
11. Soit une série de terme général Un strictement positif, tel que
Un+ 1 = 1-~ +vn où Vn est le terme général d'une série absolument
Un
n
convergente. Montrer que pour n assez grand on a
L Un+l
).
'
. d
b 1
og - - = - - + Wn. ou la séne es Wn est a so ument converUn
n
A
gente. En déduire l'existence de A > 0 tel que Un "' -X.
n
12. Nature des séries de termes généraux
Un = nla ( (n + 1)1+~ - (n - 1) 1 -~) ;
1
V -
.
n - ntg('i+~)'
Wn = nP ( e-a/n _ e-asin ~)
avec a> O.
13. Nature des séries de termes généraux Un = tg(7rv'n2 +an+ b);
Vn = tg ( ~ + ( -:1n) -1, avec a > O.
14. Montrer que la série des
Vnî
Un =
converge. Cal(1 + Jl)(l + J2) ... (1 + Jn)(l + Jn + 1)
culer sa somme.
15. Nature de la série des Un = f(n) avec f E C 1 ((1, +oo[) et
.
f'(x)
hm -f( ) = >. < O.
x-++oo
X
16. Nature des séries de termes généraux Un= aE(Logn), (avec a> 0);
(-l)E(yln)
Vn =
; (E(x) désignant la partie entière de x, donc
n
l'unique entier p tel que p ~ x < p + 1).