Séries numériques, séries dans les espaces vectoriels normés
67
IlrestelecasdeO En affinant le calcul précédent, il y a environ 2k termes Un pour lesquels
sin (7rfo);;;,: ~·et_!.__;;;,:
1
2
n°
( 2 k + ~) 2o ·
La somme des termes positifs de cette tranche est minorée par
2k 1
1
'té .
d
.
1
1
· J2 · ( 2
k + ~) 20 , quanti qui ten vers +oo s1 a< 2 , ou vers J2
si a = 4, donc, pour 0 < a ~ 4 on peut nier le critère de Cauchy
des espaces complets : il y a divergence.
1
Ilrestelecasde 2 On introduit, pour x;;;,: 1,·la fonction f(x) = sin (7ry'X), et F une primitive
Xo
d f
.
1n+l sin (7ry'X) d
e , puis Vn =
xo
. x.
n
L'intégrale impropre /+oo f(x)dx converge, (poser 11"Vx = t pour le voir,
on est ramené à considérer /+oo t~:! 1 dt avec ù! > 4, voir tome 2,
exemple 9.18); comme une somme partielle des Vn est du type f P f(x)dx,
la série des Vn converge, donc la série des Un est de même nature que celle
des Wn = Vn - Un.
Or
/
1 Il
wn = F(n + 1) - F(n) - F (n) = 2 F (en)
avec en entre net n + 1.
On F "( ) = !'( ) = -a sin (7rv'X) 11" cos (7rv'X)
a
X
X
+1
+
1
·
xo
2xo+'2'
1
Pour n ~ en ~ n + 1, comme a + 1 > a + 2 > 1 et que
F" (en) = 0 ( - 1 - 1 ) , il y a convergence absolue de la série des Wn, d'où
no+'2'
finalement convergence de la série des Un.