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Analyse fonctionnelle
Vn sont complexes. Là encore 11.81 nous donne
q-1
IAp,ql ~ luql IVp,ql + L lun - Un+il IVp,nl
n=p
pour q >p.
La suite ( un)nEN est monotone, bornée par b, (en module), et la série
des Vn étant convergente, on a :
Ve> 0, 3PQ, Vp;;;.: Po, Vn;;;.: p, IVp,nl ~ ê
(critère de Cauchy des espaces complets).
On obtient donc,
q-1
Vp;;;.: PO et Vq > p, IApql ~ e(luql + L lun - Un+ll)
n=p
q-1
avec soit les Un - Un+ 1 tous positifs, et alors L lun - Un+1 I = Up - Uq,
n=p
soit tous négatifs, et la somme vaut Uq - Up.
Dans les deux cas IApql ~ 3eb, avec !Uni ~ b, Vn, donc là encore la
série initiale converge.
•
En plus du critère d'Abel proprement dit (Théorème 11.83), la transformation d'Abel rend bien des services. Voyons, pour terminer cette étude,
un calcul qui se fait aussi dans l'étude des séries de Fourier.
q
THÉORÈME 11.86. - Pour 0 =F 0(211"), les sommes Vp,q = L einB, avec
n=p
q ;;;.: p sont bornées par rapport à p et q.
Analyse fonctionnelle
Vn sont complexes. Là encore 11.81 nous donne
q-1
IAp,ql ~ luql IVp,ql + L lun - Un+il IVp,nl
n=p
pour q >p.
La suite ( un)nEN est monotone, bornée par b, (en module), et la série
des Vn étant convergente, on a :
Ve> 0, 3PQ, Vp;;;.: Po, Vn;;;.: p, IVp,nl ~ ê
(critère de Cauchy des espaces complets).
On obtient donc,
q-1
Vp;;;.: PO et Vq > p, IApql ~ e(luql + L lun - Un+ll)
n=p
q-1
avec soit les Un - Un+ 1 tous positifs, et alors L lun - Un+1 I = Up - Uq,
n=p
soit tous négatifs, et la somme vaut Uq - Up.
Dans les deux cas IApql ~ 3eb, avec !Uni ~ b, Vn, donc là encore la
série initiale converge.
•
En plus du critère d'Abel proprement dit (Théorème 11.83), la transformation d'Abel rend bien des services. Voyons, pour terminer cette étude,
un calcul qui se fait aussi dans l'étude des séries de Fourier.
q
THÉORÈME 11.86. - Pour 0 =F 0(211"), les sommes Vp,q = L einB, avec
n=p
q ;;;.: p sont bornées par rapport à p et q.