Séries numériques, séries dans les espaces vectoriels normés
49
Ce théorème, qui porte parfois le nom de Critère d'Abel est d'un emploi
commode et fréquent dans l'étude des séries entières.
Voici d'autres résultats.
THÉORÈME 11.84. - Soit une série de terme général Un Vn avec les Un et
n
Vn complexes. Si les sommes Vp,n = L Vi (pour n ~ p), sont bornées, si
i=p
la série des (Un - Un+ 1) est absolument convergente, et si la suite des Un
converge vers 0, alors la série des Un Vn converge.
Cet énoncé est moins pratique que le précédent, car il comporte trop
d'hypothèses et il en est des hypothèses comme des médicaments : au delà
de deux c'est difficile à maîtriser.
Avec les mêmes notations, et B > 0 qui majore les IVp,nl. on a dans
11.81:
q-1
Vp EN, Vq > p, IAp,ql ~ B(luql + L IUn - Un+iD
n=p
(et IAp,pl ~ Blupl).
Or Ve> 0, 3po, Vr ~Po. lurl ~ c, (traduit lim Un= 0) et
n->+oo
q-1
'ip~po,'iq>p, Llun-Un+il~c
n=p
puisque la série des lun - Un+1 I converge.
On a donc, Vp ~ Po, Vq > p, IAp,ql ~ 2cB, et IAp,pl ~ cB, donc là
encore la série des Un Vn converge.
•
Enfin on a encore :
THÉORÈME 11.85. - Soit une série de terme général Un Vn avec la suite des
Un monotone bornée, et la série de terme général complexe Vn convergente,
alors la série des Un Vn converge.
Il faut remarquer que le raisonnement qui consiste à dire que, si
À =
lim Un est non nulle, UnVn "" ÀVn ne donne rien puisque les
n->+oo