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Analyse fonctionnelle
q
Ap,q = Up Vp,p + L Un(Vp,n - Vp,n-1), expression que l'on réordonne
n=p+l
par rapport aux V,,,n· Seul Vp,q n'intervient qu'une fois, et l'on a
q-1
q
11.81.bis
Ap,q = L Vp,n(Un - Un+i) + Uq'Vp,q = L UnVn.
n=p
n=p
11.82. Effectuer ce calcul c'est faire une transformation d'Abel. L'idée est
q
la suivante: si dans L UnVn, Vn apparaît comme la différence de deux
n=p
choses consécutives, on réordonne la somme en indexant sur ces choses.
(Ne pas oublier que Un = Un · 1 = Un((n + 1) - n), cela peut parfois
servir.)
Voyons maintenant plusieurs énoncés permettant de conclure à la
convergence de la série des UnVn.
THÉORÈME 11.83. - Soit une série de terme général an = Un Vn, les Un
étant réels et les Vn complexes. Si Un tend vers 0 en décroissant et si les
n
sommes Vp,n = L Vi> (pour n ~ p) sont bornés, la série des an converge.
i=p
En effet, en effectuant la transformation d'Abel qui précède, Vp E 1\1,
Vq > p, on a
q-1
IAp,ql :i::;; L IVp,nl lun - Un+il + luql IVp,ql·
n=p
Or il existe une constante B > 0 telle que, \;/p E 1\1, Vn ~ p,
IVp,nl :i::;; B; et de plus, la suite (un)nEN tend vers 0 en décroissant, on a
donc Uq;;;.: 0, Un - Un+l ~ 0 et aussi, Ve> 0, 3po, Vp ~ po, Up :i::;; ~·
Soit p ~ PO et q > p, en utilisant ces inégalités il vient
q-1
IAp,ql :i::;; L B(un-Un+i)+B(uq) = B(up-uq+uq) = Bup :i::;; B ~ = e
n=p
dans C complet, le critère de Cauchy des espaces complets s'applique à
la suite des sommes partielles An donc la série est convergente, (il faut
noter que IAppl = up!Vp,pl :i::;; e aussi).
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