Séries numériques, séries dans les espaces vectoriels normés
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11.81. Partition des indices
Soit une série u de terme général Un dans E espace vectoriel normé
complet. Soit par ailleurs une partition de N en deux parties I et J de
cardinal infini.
on: peut définir deux séries a et b de termes généraux respectifs an et
bn définis par :
sin E J, an =Un et an = 0 si n '/. I;
si n E J, bn = Un et bn = 0 sinon.
On a donc, Vn E N, an+ bn = Un- Il est évident que si les deux séries
a et b sont convergentes, la série u est aussi convergente, et a pour somme
U = A + B; mais également que si a et b sont absolument convergente,
u le sera.
De même si a converge et b diverge, u diverge (sinon, b = u-a convergerait ... ). Par contre a divergente et b divergente n'implique pas u divergente, comme le montre le cas de la série harmonique des Un = ( - l )ln
n+
dans laquelle on isolerait les termes pairs, ( a2p = 2 p ~ 1 , a2p+ 1 = 0)
des termes impairs.
On peut généraliser à une partition en un nombre fini de parties de
cardinal infini.
Transformation d'Abel
Il s'agit tout simplement de la mise en forme d'une interversion des
sommations dans une somme finie.
Supposons que le terme général d'une série s'écrive an= UnVn, ce qui
suppose l'existence d'un produit, c'est pourquoi nous supposerons les Un et
les Vn réels ou complexes. Mais le type de raisonnement se généraliserait
avec des Un E Cc(E, E), des Vn E E, d'où des an E E, avec E espace
vectoriel normé complet par exemple.
On veut, par application du critère de Cauchy des espaces complets,
voir si la série des an converge, ce qui conduit à considérer les sommes
q
du type Ap,q = L Un Vn. avec q ~ p. On pose alors, pour n ~ p,
n=p
n
Vp,n = L Vi, et on exprime les Vn à l'aide des Vp,r· On a Vp = Vp,p
i=p
et pour n > p, Vn = Vp,n - Vp,n-1· On a donc, si q > p,