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Analyse fonctionnelle
réciproquement, si la suite extraite converge, soit e > 0, 3no, \ln ;;;i: no,
U - e ~ Up,. ~ U « +e » si U est la limite avec +e entre guillemets car
la suite est croissante donc la limite est atteinte par valeurs inférieures.
Mais alors, Vk ;;;i: Pn 0 , on a U - e ~ Up,. 0 ~ Uk ~ U, ce qui traduit la
convergence de la suite des sommes partielles vers U.
•
On peut encore raffiner.
THÉORÈME 11.80. - Soit une série u de terme général réel Un et une
suite strictement croissante d'entiers, Pn· Si dans chaque somme Vn =
Pn
L Uï. (avec P-1 = -1), les Ui sont de même signe ou nuls, les séries
i=Pn-1+1
u et v sont de même nature et ont même somme en cas de convergence.
Là encore il suffit de justifier que la convergence de la série v implique
celle de la série u.
Soit donc k E N, il existe un seul n tel que Pn < k ~ Pn+i. donc
k
Uk=Vn+ L Ui·
i=p,.+1
Si les Ui pour Pn + 1 ~ i ~ Pn+l sont tous ;;;i: 0, on a
k
Pn+l
o~ L ui~ L ui
i=p,.+1
i=p,.+1
d'où l'encadrement Vn ~ Uk ~ Vn+l; alors que si les Ui sont~ 0, on aura
Pn+1
k
L ui~ L ui~o
i=p,.+1
i=p,.+1
et l'encadrement Vn+l ~ Uk ~ Vn.
Dans les 2 cas, on obtient IVn - U k 1 ~ IVn+I - Vn 1 · La convergence
de la série v, jointe au fait que lim n = +oo, (voir démonstration du
k-++oo
Théorème 11.78) montre que lim Uk = lim Vn d'où le résultat. •
k-++oo
n-++oo