Séries numériques, séries dans les espaces vectoriels normés
45
la série v converge : si V est sa somme, au même c > 0 on associe no tel
que Vn ~no, llVn - VII~ c; formons alors
k
llUk - VII~ llVn - VII+ L lluïll,
i=Pn+l
on pourra utiliser les majorations si k est assez grand pour affirmer que
n ~ no et i ~ io.
Or l'application qui à k associe n(k) tel que Pn < k ~ Pn+l est
croissante, non majorée, (sinon elle devient convergente donc constante
car on est dans N, et il existerait no tel que Vk EN, k ~ Pno+1).
On a donc lim n(k) = +oo d'où aussi lim Pn(k) + 1 = +oo
k~+oo
k~+oo
et alors 3ko, Vk ~ ko, n(k) ~ no et Pn(k)+l ~ io d'où Vk ~ ko,
l IUk- VI 1 ~ c+mc, vu les inégalités établies. Comme m est une constante
et c quelconque, ceci prouve bien la convergence de la série u. Les séries
u et v étant simultanément convergentes sont de même nature, et on sait
qu'en cas de convergence elles ont même somme (Théorème 11.77).
•
Exemple d'application du théorème 11. 78. Nature de la série de terme
(-l)n
1
général Un =
. La série est alternée, !uni "' - tend vers 0
n - cosn7r
n
mais pas en décroissant. On associe les termes 2 à 2 soit Vp = u2p + u2p+ 1
ona
1
1
3
3
V - - - - - - - - -
" ' -
p - 2p - 1 2p + 2 - (2p - 1)(2p + 2) - 4p2.
La série des Vp converge, Un tend vers 0, on a des paquets de 2 termes, le
Théorème 11.77. s'applique donc u converge.
•
Il y a d'autres résultats, propres au cas réel, liés à la structure de corps
ordonné.
THÉORÈME 11. 79. - Soit une série u de terme général Un positif. Quelle
que soit la suite strictement croissante d'entiers Pn. la série v obtenue en
sommant par paquets est de même nature que u, et a une somme égale en
cas de convergence.
En effet la suite des Vn = Upn est une suite extraite d'une suite
croissante cette fois et dans ce cas les deux suites sont de même nature car,
il est toujours vrai que lim Uk = U implique lim Upn = U; mais
k~+oo
n~+oo