44
Analyse fonctionnelle
La réponse à la première question est non, et à la deuxième oui.
EXEMPLE 11.76. - Soit u avec Un= (-l)n: la série diverge. On associe
les termes 2 à 2 : vo = 1 - 1 = 0, v1 = 1 - 1 = 0, ... , Vn = 1 - 1 = 0, ...
la série v converge.
Voici une liste de résultats valables.
THÉORÈME 11.77. - Si une série u est convergente, quelle que soit la suite
(pn)nEN strictement croissante d'entiers, la série v obtenue en sommant
par paquets est convergente et a la même somme.
En effet Vn = vo+v1 + .. . +vn = Upn en fait, donc la suite des sommes
partielles, de la série v est une suite extraite de la suite convergente des
sommes partielles de u: le résultat en découle.
Ce théorème s'applique surtout pour calculer des sommes de séries
que l'on sait être convergentes.
Nous avons vu, (exemple 11.76) que par associativité, une série divergente pouvait donner une série convergente. Il faut donc être prudent si on
ne connait pas la nature de la série initiale. On dispose alors du théorème
suivant.
THÉORÈME 11. 78. - Soit une série u de terme général Un. qui tend vers
O. Soit une suite strictement croissante d'entiers (pn)nEN· Si le nombre de
termes rn = Pn - Pn-1+1 par paquets est borné, la série u et la série v
obtenue en sommant par paquets sont de même nature et ont même somme
en cas de convergence.
Comme (u convergente)~ (v convergente) est toujours vrai, il reste à
justifier l'implication réciproque. On suppose donc v convergente.
Soit donc un entier k quelconque, on veut relier la somme partielle U k
aux sommes partielles de la série v. Pour cela, il existe un et un seul n
tel que Pn < k ~ Pn+l• (suite (pn)nEN strictement croissante), donc
Pn
k
k
uk = L Ui + L Ui = Vn + L Ui·
i=O
i=pn + 1
i=Pn +1
Par hypothèse, il existe un entier m majorant le nombre de termes de
chaque tranche, donc k - Pn ~ m; puis . lim Ui = 0 :
i-++oo