Séries numériques, séries dans les espaces vectoriels normés
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T
une permutation u de N et il reste à justifier lim '"' uu(s) = +oo.
r-++oo L....,,
s=O
On peut constater que la somme partielle Apn + Bqn qui devient
n
inférieure à Rn = L(k 2 - k), est obtenue à partir de Apn + Bqn-1
k=l
par adjonction d'un seul terme, bqn = U..p(qn)• avec 1/J(qn) ;;;.: n - 1.
Or la série u étant semi-convergente, la suite des Un est bornée, et
si a est tel que Vn E N, lunl ~ a, on aura Apn + Bqn ;;;.: Rn - a, les
sommes partielles suivantes de la série des Uu(s) augmentent donc restent
supérieures à Rn - a, puis lorsqu'elles diminuent, (dans la (n + l)ième
étape) elles demeurent supérieures à Rn - a+ (n + 1) 2 - (n + 1) : elles
sont donc supérieures à Rn - a.
Siro est l'indice tel que u(ro) =l'indice 1/J(qn), on a donc,
T
Vr;;;.: ro, Sr= L Uu(s);;;.: Rn - a
s=O
avec Rn ;;;.: n 2 - n.
Comme n 2 - n - a peut être rendu arbitrairement grand on a bien
lim Sn = +oo ce qui achève la justification.
r-++oo
Sommation par paquets
Nous venons de voir que la propriété de commutativité des sommes
dans un espace vectoriel ne s'étend pas aux séries quelconques. Il en est de
même de l'associativité. De quoi s'agit-il? Eh bien de sommer par paquets
les termes de la série initiale pour en obtenir une autre.
Supposons donnée une série u de terme général Un dans E (espace vectoriel normé), ainsi qu'une suite strictement croissante d'entiers (pn)nEN,
donc Pn ;;;.: n et lim Pn = +oo.
n-++oo
On pose alors vo
i=O
Pn
Pl
L Ui et plus généralement,
i=po+l
Vn = L Ui· On obtient ainsi une nouvelle série v dont le terme
i=Pn-1+1
général est obtenu à partir de u en associant les termes uk entre eux.
Question : u et v sont elles de même n&ture? En cas de convergence des
deux y a-t-il égalité des sommes?