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Analyse fonctionnelle
Si Uu(r) est le dernier terme positif ajouté, on vient de dépasser S,
donc
Sr - Uu(r) ~ S < Sr
d'où IS - Sri ~ Uu(r) =un an avec n ~ N d'où là encore IS - Sri ~ e.
Une démarche analogue permettrait de prouver que 1 S - Sr 1 ~ e si
Uu(r) ~O.
r
On a donc finalement : Ve > 0, 3ro, Vr ~ ro, IS - L Uu(s) 1 ~ e :
s=O
la série u o (j converge bien vers S.
•
LEMME 11. 75. - Il existe une permutation (j de N telle que la série v = UO(j
diverge vers +oo.
La démarche sera analogue.
On va procéder par étapes indexées par n E N*, la nième étape
consistant à ajouter des termes positifs pour dépasser n 2 , puis des négatifs
pour venir sous n 2 - n, ceci étant possible parce que les deux suites des
An et des Bn divergent.
Premi.ère étape : il existe un seul Pl E N tel que Api -1 ~ 1 < Api
puis il existe un Ql tel que Api + Bqi ~ 1 - 1 < Api + Bqi -1• (il se peut
que Pl (ou q1) soit nul auquel cas Pl - 1 (ou Ql - 1) n'existe pas).
Deuxi.ème étape : il existe un seul P2 > PI tel que
À.p2 -1 + Bqi ~ (1-1) + 2 2 < Ap2 + Bqi,
puis il existe Q2 > QI tel que
AP2 + Bq2 ~ (1 - 1) + (2 2 - 2) < Ap2 + B~-1
et on continue ainsi, à la nième étape il existera un seul Pn > Pn-1 tel
que
et aussi un Qn > Qn-1 tel que
Apn + Bqn ~ (1-1) + (2 2 - 2) + ... + (n 2 - n) < Apn + Bq.,,,-1·
On détermine donc encore, en prenant les termes dans l'ordre