Séries numériques, séries dans les espaces vectoriels normés
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(Les entiers P2 et q2 existent parce que les An tendent vers +oo et les
Bn vers -oo).
La deuxième étape consiste à prendre les termes dans l'ordre
On continue ainsi, à chaque étape on prend au moins un terme > 0
et au moins un terme :::;; 0, donc chaque ak et chaque bk est pris, (au plus
tard à la (k + l)ième étape) et ceci une seule fois : on construit ainsi une
OO
bijection a de N. Il reste à prouver que L Uu(n) =S.
n=O
Or la convergence de la série u implique la convergence de la suite u
vers o.·
Soit c > 0, 3N, Vn ~ N, lunl : : : ; ; c.
Comme ap = ucp(p) avec cp(p) indice du (p+ l)ième terme strictement
positif, on a cp(p) ~ p, donc Vn ~ N, lanl : : : ; ; cet de même lbnl : : : ; ; c.
Supposons effectuée la N + lième étape, on est alors certain que les aj
et bj avec j < N ont tous été pris.
On suppose donc déjà pris les termes
et soit ro l'entier tel que a(ro) soit l'indice du dernier terme de la série u
qui a été pris, donc ici a(ro) = 'ljJ(qN+l)·
r
On va prouver que, Vr ~ ro, IS- L Uu(s) 1 :::;; c, (du moins je l'espère).
s=O
r
Notons Sr = L Uu(s)> deux cas se présentent suivant le signe de
s=O
Uu(r)·
Premier cas: Uu(r) >O. Quand on prend Uu(r)> on est dans une étape,
disons la kième, avec k > N + 1, et on est en train d'ajouter des termes
positifs : la somme Sr est donc supérieure à la somme APk-l + Bqk-l'
(fin ae la (k - l)ième étape).
Si Uu(r) n'est pas le dernier terme positif ajouté à la kième étape, on
a donc
donc IS - Sri :::;; lbqk_ 1 I : : : ; ; c puisque qk-1 ~ k - 1 ~ N.