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Analyse fonctionnelle
SoitNunentierdonné.Onnotep(N) = sup{r;r E N,r ~ N,ur > O}
et Q(N) = sup{s; s E N, s ~ N, u(s) ~ O}, avec la convention p(N) et
Q(N) égaux à -1 tant qu'ils n'existent pas.
Les applications p et Q sont croissantes, non majorées car si l'une
ou l'autre était majorée elle deviendrait constante ce qui contredirait le
lemme 11.72: On a donc lim p(N) = lim Q(N) = +oo.
N-++oo
n-++oo
On a aussi, pour tout N,
N
UN = Ap(N) + Bq(N) et L luk 1 = Ap(N) - Bq(N),
k=O
(avec A-1 = B-1 = 0 si nécessaire).
Si alors l'une des séries a ou b, par exemple a, converge, on a
lim Bq(N) =
lim (UN - Ap(N)) qui existe, donc b converge, la
N-++oo
N-++oo
suite décroissante de ses sommes partielles ayant une suite extraite convergente. Mais alors la série u est absolument convergente : c'est absurde.
Donc lim An = lim Bn = +oo.
•
n-++oo
n-++oo
LEMME 11. 7 4. - Soit S dans IR. Il existe une permutation u de N telle que
la série v = u o u converge vers S.
Pour cela on va prendre des termes positifs jusqu'au moment où on
dépasse S, puis des négatifs pour revenir sous S, et répéter ce processus.
Comme lim An = +oo, il existe Pl E N tel que Api -1 ~ S < Api
n-++oo
(si ao > S, en fait Pl = 0 et Ao-1 n'intervient pas).
Puis, comme lim Bn = -oo, il existe QI EN tel que
n-++oo
(là encore, si Api + bo ~ S, QI = 0 et Bqi-1 n'intervient pas).
Il faut remarquer que Pl est unique mais pas Ql, ceci parce que parmi
les bj peuvent figurer des termes nuls.
On prend les termes dans l'ordre ao, ai, ... , api; bo, bi, ... , bqi; c'est
la première étape.
Puis il existe un seul P2 tel que Ap 2 -1 + Bqi ~ S < Ap2 + Bqi (et
P2 > Pl, car partant de la somme Api + Bqi ~ S, il faut vraiment ajouter
des termes an > 0 pour obtenir Ap 2 + Bqi > S); et de même il existe des
Q2 > QI tels que
·
AP2 + Bq2 ~ S < Ap2 + Bq2 -1.