Séries numériques, séries dans les espaces vectoriels normés
39
k
Ve> 0, 3no, Vp;?.: no, Vq >no, L llunll ~ e,
n=p
a fortiori toute somme d'un nombre fini de l lun 11 pour des indices n ;?.: no
sera majorée par une somme du type précédent, donc par ê.
Si on choisit dans ce qui précède, n ;?.: no, il existe donc r(n), (r est
fonction den), tel que llVr(n)-Unll ~ ê. En outre, r(n), borne supérieure
d'un ensmble de n + 1 entiers est supérieur ou égal à n. Si donc n tend
vers l'infini, r(n) aussi, et à la limite on obtient llV - Ull ~ ê. Ceci pour
tout ê > 0 d'où V = U.
•
Quand aux séries semi-convergentes, l'exemple donné montre qu'il faut
se méfier. On peut en fait établir le résultat suivant :
THÉORÈME 11. 71. - Soit une série semi-convergente réelle, u, non absolument convergente. Pour tout S de IR U { -oo} U { +oo }, il existe au moins
une permutation cp de N telle que la série v = u o cp «converge » vers S.
«Converge» car si S = +oo ou -oo il y a divergence.
Procédons par étapes. On dispose de u, de terme général réel Un. semiconvergente, non absolument convergente.
LEMME 11.72. - Soit l = {n; Un> 0} et J = {n; Un< 0}, let J sont
des ensembles infinis.
Car si card(I) était fini par exemple, et si no = sup I, Vn ;?.: no,
Un ~ 0, donc Un = -lunl. et la convergence de la série u serait alors
absolue. On conclut de même si card( J) fini.
•
Comme il faut mettre les termes nuls quelque part, on va noter, pour
p EN, cp(p) l'indice du (p+ l)ième terme Un, avec Un > 0et1/J{p) l'indice
du (p + l)ième terme Un, avec Un~ 0, an= Uc,o(n)• le (n + l)ième terme
strictement positif de u, et bn = U,p(n)> le (n + l)ième terme négatif ou
nul de u.
LEMME 11. 73. - Les séries a et b de termes généraux an et bn sont
divergentes.
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Ve> 0, 3no, Vp;?.: no, Vq >no, L llunll ~ e,
n=p
a fortiori toute somme d'un nombre fini de l lun 11 pour des indices n ;?.: no
sera majorée par une somme du type précédent, donc par ê.
Si on choisit dans ce qui précède, n ;?.: no, il existe donc r(n), (r est
fonction den), tel que llVr(n)-Unll ~ ê. En outre, r(n), borne supérieure
d'un ensmble de n + 1 entiers est supérieur ou égal à n. Si donc n tend
vers l'infini, r(n) aussi, et à la limite on obtient llV - Ull ~ ê. Ceci pour
tout ê > 0 d'où V = U.
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Quand aux séries semi-convergentes, l'exemple donné montre qu'il faut
se méfier. On peut en fait établir le résultat suivant :
THÉORÈME 11. 71. - Soit une série semi-convergente réelle, u, non absolument convergente. Pour tout S de IR U { -oo} U { +oo }, il existe au moins
une permutation cp de N telle que la série v = u o cp «converge » vers S.
«Converge» car si S = +oo ou -oo il y a divergence.
Procédons par étapes. On dispose de u, de terme général réel Un. semiconvergente, non absolument convergente.
LEMME 11.72. - Soit l = {n; Un> 0} et J = {n; Un< 0}, let J sont
des ensembles infinis.
Car si card(I) était fini par exemple, et si no = sup I, Vn ;?.: no,
Un ~ 0, donc Un = -lunl. et la convergence de la série u serait alors
absolue. On conclut de même si card( J) fini.
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Comme il faut mettre les termes nuls quelque part, on va noter, pour
p EN, cp(p) l'indice du (p+ l)ième terme Un, avec Un > 0et1/J{p) l'indice
du (p + l)ième terme Un, avec Un~ 0, an= Uc,o(n)• le (n + l)ième terme
strictement positif de u, et bn = U,p(n)> le (n + l)ième terme négatif ou
nul de u.
LEMME 11. 73. - Les séries a et b de termes généraux an et bn sont
divergentes.