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Analyse fonctionnelle
Cela donne
wo = ( 1 - ~) = ~; w1 = - ~,
W2= (~-~) =~; W3=-~; ...
et plus généralement
1
1
1
W 2 k = 2k + 1 - 2(2k + 1) = 2(2k + 1) et W 2 k+l =
1
2(2k + 2)
la série w a donc pour terme général ~ ( ~-~)~). Diantre!
•
L'action de la permutation initiale a donc divisé par deux la somme.
Où allons-nous si on ne peut plus faire ce qu'on veut.
Cet exemple nous montre la nécessité de résultats précis, que nous
allons établir.
THÉO~ME 11. 70. - Soit une série u de terme général Un dans E espace
vectoriel normé complet, et cp une permutation de N. Si u est absolument
convergente, la série v des Vn = urp(n) est absolument convergente, et de
somme V= U.
Ce résultat sera d'un emploi fréquent pour les séries entières. Si on
pose an = llunll et An = ao +ai+ ... + an. on sait que la suite des
sommes partielles An est convergente, donc majorée par une constante
A. (Sa somme d'ailleurs).
Avec bk = llvkll = llurp(k)ll = arp(k)> on aura donc
Bn = bo + bi + ... + bn = arp(O) + ... + arp(k) ~ Asup{rp(O), ... ,rp(k)} ~ A.
La suite, croissante, des Bn étant majorée est convergente, d'où la
convergence absolue de la série v.
Soit alors Un = uo + u1 + ... +Un une somme partielle de u. Comme
cp est une bijection de 1\1 et que Vk = urp(k)• on a Ur = Vrp-l(r) donc
Un= Vrp-l(O) + Vrp-1(1) + ... + Vrp-l(n)·
Soit r(n) = sup{cp- 1 (0), cp- 1 (1), ... ,cp- 1 (n)}, la somme partielle Vr(n)
est telle que vr(n) - Un soit la somme des Vk, pour k ~ r(n), mais