Séries numériques, séries dans les espaces vectoriels normés
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somme d'une série convergente n'a pas les propriétés algébriques d'une
somme.
6. Le «fin du fin » sur les séries
On va étudier quatre propriétés, trois portant en fait sur l'indexation,
permutation, sommation par paquets, partition des indices, la quatrième,
la transformation d'Abel concernant un travail sur le terme général de la
série.
Action des permutations
Soit une série u de terme général Un dans IR ou C, ou plus généralement dans E espace vectoriel normé. On a vu qu'en fait u est une application de N dans E. Si

v = u o

général Vn = u (-l)n
11.69. Un exemple. Soit la série alternée u de terme général Un = - - 1 -
n +
(série dite harmonique), de somme U. On permute les termes de u de façon
à prendre un terme positif puis deux négatifs, dans l'ordre où ils figurent
dans u.
On pose donc
1
1
vo = 1, v1 = -2, v2 = -4;
1
1
1
V3 = 3' V4 = -6, V5 = -S;
et plus généralement comme on travaille par tranches de trois termes, V3k
.,
1
fera intervenir l'inverse du (k+ l)ieme nombre impair, soit V3k = 2 k + 1 ,
1
1
et V3k+l = - 2(2k + 1)' V3k+2 = - 2(2k + 2).
On verra, tout de suite après l'étude de l'action des permutations, que
l'on peut, dans la série v, associer 2 termes, en prendre 1, en associer 2,
en prendre 1, ... , sans modifü~r la nature ni la somme de la série en cas
de convergence (voir Théorème 11.78).