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Analyse fonctionnelle
Avecp = N -q, on aurap ~Po pour q ~ N -po. Soit donc N ~ qo et
N ~ Po, on veut couper la somme en trois parties et pour cela on suppose
Qo ~ N - Po, soit finalement N ~ Po + qo.
Ona
Notons, YN, ZN et tN ces trois sommes. On a, par inégalité triangulaire,
quant à la deuxième somme, comme IVq - VI ~ e, (car q ~ qo), et
IUN-q - UI ~ e, (car N - q ~ N - qo ~Po), on a
1
lzNI ~ N + 1 (N - Po - qo + l)(eA + elVI) ~ e(A + IVI)
En fait, la majoration 1Uk1 ~ A et 1Vk1 ~ A pour k assez grand conduit
à IUI ~ A et IVI ~ A en passant à la limite, d'où
l x 1 ~ 2eA + 2A2(po + qo)
N""
N+l
'
majorant ayant 2eA pour limite si N tend vers l'infini, donc devenant
inférieur à e(2A + 1) pour N assez grand, ce qui prouve la convergence
de x N vers 0 et achève la justification. On donnera, dans le chapitre sur
les séries entières, une justification plus rapide de ce résultat.
•
On peut remarquer que la mise en forme consiste à mettre en évidence
les hypothèses. D'abord, pour retrancher un nombre à une somme, le
plus simple est de transformer ce nombre en somme indexée de la même
manière, d'où un travail terme à terme sur Vql!n-q-VU, où l'on peut faire
apparaître la différence (Vq - V)Un-q ... ce qui introduit (Un-q - U)V.
Le reste n'est que routine.
Venons en enfin aux traitements bizarres que l'on peut faire subir
aux séries, certains de ces traitements mettant en évidence le fait que la