Séries numériques, séries dans les espaces vectoriels normés
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(si on poser= n - q).
L'astuce de la démonstration va consister à appliquer la convergence
suivant Césaro à la suite des sommes partielles Wn.
On a f: Wn = f: (t Un-q Vq) et on intervertit les sommations :
n=O
n=O q=O
d'où
1
N
1
N
donc, N + 1 LWn=N+ 1 LVqUN-q·
n=O
q=O
On sait alors que lim Wn = W=} lim _NI (~ Wn) = W
n~+oo
N~+oo
+1 L.,;
n=O
(c'est la convergence au sens de Césaro), mais de même, si Un et Vn sont
les termes généraux de suites qui convergent vers U et V respectivement
1
N
on a lim - N 1 L VqUN-q = VU. On obtient donc ici l'égalité
N~+oo
+ q=O
W=UV.
•
11.68. Justifions le résultat utilisé sur les suites, (avec Vq = 1 pour tout
q on a le résultat de Césaro).
Soit donc
1
N
1
N
XN = N + 1L:VqUN-q-VU=N+1 L(VqUN-q-VU).
q=O
q=O
Ona VqUN-q-VU = (Vq-V)UN-q+V(UN-q-U) et, intuitivement
pour q grand, Vq - V sera petit, facteur de UN -q borné, et pour N - q
grand, U N-q - U sera petit. Formulons tout ceci.
Il existe A > 0 tel que Vk E N, IUkl ~ A et IVkl ~ A, (des suites
convergentes sont bornées).
Soit e > 0,
et
3qo, Vq ~ qo, IVq - VI ~ e
3PQ, Vp ~PO. IUp - UI ~ ê.