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Analyse fonctionnelle
de 0 à n, k + 1 varie de 1 à n + 1 et n - k + 1 de n + 1 à 1, d'où
2 · (-l)n (
1
1 )
Wn=
2
1+- 2 + ... + - - .
n+
n+l
.
2 Logn
On a le terme général d'une séne alternée, lwnl,...,
tend vers
n
0, (voil'. l'exemple 11.21 pour un équivalent de 1 + ~ + ... + n ~ 1 ). Est-ce
en décroissant?
Ona
2 n+ 2 1
2 n+l 1
lwn+ll- lwnl = -·-L:- - -L:n + 3 k=l k n + 2 k=l k
= (E ~) (n!3 - n!2) + (n+3~n+2)"
2
2
-2
Comme n+ 3 - n+ 2 = (n+ 2 )(n+ 3 ) il reste
2
(
1 1
1 )
lwn+ll-lwnl= (n+2)(n+3) l-l-2-3-···- n+l ~O
donc la série des Wn est alternée, convergente suivant son critère.
•
Il résulte de ces remarques, que la prudence s'impose quand on veut
affirmer quelque chose concernant le produit de deux séries quelconques,
d'autant plus que la série produit de deux séries divergentes peut elle
même converger! (Voir l'étude des séries entières pour un exemple d'une
telle situation).
Signalons cependant le résultat suivant :
THÉORÈME 11.67. - Soient deux séries u et v de termes généraux réels
ou complexes Un et Vn, tels que u, v et w, série produit, convergent. On a
forcément l'égalité W =UV p_our les sommes de ces séries.
So;t w. ~ t,,, (t, . , . , , , , _, ) la ommne part;elle d'onlre n de w. On
intervertit les sommations, r variant de 0 à n, (p variant de 0 à n) on a :
Wn ~ t. u,. ~ "i>-•) ~ t. u,. Vn-• ~ ~ Un-q Vq