Séries numériques, séries dans les espaces vectoriels normés
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Wn est bien absolument convergente. L'ensemble S A·C est donc stable
par produit: c'est un sous-anneau de S. Enfin si u et v sont absolument
convergentes, le Théorème 11.63 s'applique et donne l'égalité W = UV
pour les sommes des trois séries u, v et w série produit : on a bien un
morphisme d'anneaux.
•
REMARQUE 11.65. - Sc n'est pas stable par produit.
(-l)n
Soit u = v la série de terme général Un = r.:-71", qui est semi
vn+l
convergente, (alternée qui converge suivant son critère et lun 1
diverge).
Le terme général de la série produit w est
Wn = UnUO + Un-1 UI + · .. + UQUn
(
) n (
1
1
1
= -1
r.:-71" + ---;;'i' + ... + r.:::---L ~ + ...
v n + 1 ..fii,v 2
v n - kv k + 2
+d+-r)·
1
Or n - k + k + 2 = n + 2 est constant par rapport à k et l'inégalité
4uv:::;; (u + v) 2 , (<=? 0:::;; (u - v) 2 ) valable sur IR donne
2
1
4(n- k)(k + 2):::;; (n + 2) 2 d'où - - 2 :::;; ..fit=kJk+2"
n+
n-k k+2
2
On a donc lwnl ~ (n + 1) · - - 2 , soit lwnl ~ 1 : la série produit
n+
diverge puisque son terme général ne tend pas vers O.
•
REMARQUE 11.66. - Le produit de deux séries semi-convergentes peut
cependant être une série convergente.
(-l)n
Soit cette fois u = v la série de terme général Un = - -, le terme
n+l
général de la série produit w est
n( 1 1
1
1 )
Wn=(-l)
n+l +n·2+ ... +(n-k+l)(k+l)+ ... +n+l ·
1
La fraction rationnelle, (en k), (n _ k + l)(k + l) se décompose en
1
1 ( 1
1
)
(n - k + l)(k + 1) = n + 2 k + 1 + n - k + 1 ' et, quand k varie