32
Analyse fonctionnelle
On suppose n >ni on aura donc
d'où, pour n > ni,
n1
IUn Vn - Wnl ~ L jupj IVn - Vn-pl + ~·
p=i
Les indices n - p varient den - ni à n -1. Or au même ê on associe
n2 tel que
(convergence de la série v).
Si ici n - ni ~ n2, (soit n ~ ni + n2) les indices n - p intervenant
ê
seront supérieurs à n2, on aura IVn - Vn-pl ~ 2 A d'où
Finalement, ' <:lé > 0, 3(ni + n2) E N tel que \:ln ~ ni + n2 on ait
IUnVn-Wnl~e.Ona lim Wn-UnVn=Oetcomme lim UnVn=
n-+oo
n-+oo
UV, c'est que lim Wn = UV ce qui achève la justification du théon-+oo
d~
•
COROLLAIRE 11.64. - L'ensemble S A·C des séries réelles ou complexes
absolument convergentes est un sous-anneau de S et l'application qui à
une série u associe sa somme U est un morphisme d'anneaux.
Soient u et v deux séries absolument convergentes, et w la série
produit. Pour tout n E N, on a
La série des lunl est absolument convergente, celle des lvnl est convergente, leur série produit, (Théorème 11.63) est convergente et comme
lwn 1 est positif, inférieur au terme général de cette série, la série des