Séries numériques, séries dans les espaces vectoriels normés
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Ce théorème explique la raison de la définition de ce produit compliqué
(il aurait été si simple de considérer UnVn). C'est pour avoir l'égalité
W = UV entre sommes en cas de convergence, qu'on a pris ce produit.
Formons
n n
n r
= L L UpVq - L L UkVr-k·
p=Oq=O
r=Ok=O
Les UkVr-k figurent parmi les UpVq : ils disparaissent et il ne reste
que les UpVq avec p + q > n, que l'on va sommer en travaillant pour un
indice p fixé. On a :
n n
n
UnVn-Wn = LLUpVq = L:up(Vn-p+l + ... +vn)
p=Oq=O
p=l
p+q>n
n
= L Up(Vn - Vn-p)·
p=l
Il nous reste à rendre cette quantité arbitrairement petite pour n
grand. Comme Un Vn tend vers UV, on aura alors lim Wn = UV.
n-++oo
Le critère de Cauchy, appliqué à la série convergente des lupl, permet
n
de rendre des sommes du type L lupl, petites. La différence Vn - Vn-p
p=q
est bornée, (suite Vn convergente). Il reste les petites valeurs de p dans
q
L Up, mais alors n - p est grand, Vn - Vn-p sera petit : on doit se tirer
p=l
d'affaire.
La convergence absolue de u, et celle de v permet de dire qu'il existe
n
une constante positive A telle que, Vn, L IUpl ~A, et IVnl ~A.
p=l
s
Soit ê > 0, il existe ni tel que Vr ~ ni, Vs ~ r, L lupl ~ 4 ~
p=r
(convergence absolue de u).