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Analyse fonctionnelle
Pour les séries absolument convergentes, si u et v sont dans S A·C•
l'inégalité triangulaire fournit llwnll ~ l>.I llunll + lµI llvnll, d'où la
convergence de la série des l lwn 11 puisque les séries de termes généraux
l>.I llUnll et lµl llvnll sont convergentes dans R, leur somme aussi, et on
applique le Théorème 11.22 pour conclure à la convergence de la série des
llwnll·
•
REMARQUE 11.60. - Comme un espace vectoriel n'est jamais réunion de
deux sous-espaces vectoriels propres, SD, et Ss.c ne sont pas des sousespaces vectoriels.
Produit, structure d'algèbre
Nous allons munir l'ensemble S d'une deuxième loi de composition interne : le produit de deux séries, ce qui suppose qu'un produit commutatif
existe sur E.
Aussi allons nous restreindre l'étude au cas de E = IR ou C, l'étude
pouvant s'étendre au cas de .Cc(E), en prenant des applications linéaires
qui commutent.
DÉFINITION 11.61. - Soient deux séries u et v de termes généraux Un et
Vn dans IR (ou C). On appelle série produit, la série w de terme général
Wn = UQVn + u1Vn-l + ... + UnVQ.
THÉORÈME 11.62. -L'ensemble S des séries réelles (ou complexes) est muni
par les 'lois somme et produit d'une structure d'anneau commutatif unitaire
intègre. C'est donc aussi une algèbre commutative unitaire.
Il s'agit de vérifications simples. L'élément neutre pour le produit est
la série 1 définie par uo = 1 et un = 0, 'r/n ~ 1.
L'anneau est intègre: si u :f:. 0 et v :f:. 0, avec p = inf{n, Un :f:. O} et
q = inf{n,vn :f:. O} on aura Wp+q = UpVq :f:. 0, donc w :f:. O.
Les vérifications de la structure d'anneau ne présentent aucune difficulté.
•
Il est plus intéressant de voir ce que donne la convergence vis-à-vis du
produit et là, ce n'est pas triste! Faisons le ménage en dégageant quelques
certitudes.
THÉORÈME 11.63. - La série produit w d'une série u absolument convergente, et d'une série v convergente, est elle même convergente, et pour les
sommes on a l'égalité W = UV.
Analyse fonctionnelle
Pour les séries absolument convergentes, si u et v sont dans S A·C•
l'inégalité triangulaire fournit llwnll ~ l>.I llunll + lµI llvnll, d'où la
convergence de la série des l lwn 11 puisque les séries de termes généraux
l>.I llUnll et lµl llvnll sont convergentes dans R, leur somme aussi, et on
applique le Théorème 11.22 pour conclure à la convergence de la série des
llwnll·
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REMARQUE 11.60. - Comme un espace vectoriel n'est jamais réunion de
deux sous-espaces vectoriels propres, SD, et Ss.c ne sont pas des sousespaces vectoriels.
Produit, structure d'algèbre
Nous allons munir l'ensemble S d'une deuxième loi de composition interne : le produit de deux séries, ce qui suppose qu'un produit commutatif
existe sur E.
Aussi allons nous restreindre l'étude au cas de E = IR ou C, l'étude
pouvant s'étendre au cas de .Cc(E), en prenant des applications linéaires
qui commutent.
DÉFINITION 11.61. - Soient deux séries u et v de termes généraux Un et
Vn dans IR (ou C). On appelle série produit, la série w de terme général
Wn = UQVn + u1Vn-l + ... + UnVQ.
THÉORÈME 11.62. -L'ensemble S des séries réelles (ou complexes) est muni
par les 'lois somme et produit d'une structure d'anneau commutatif unitaire
intègre. C'est donc aussi une algèbre commutative unitaire.
Il s'agit de vérifications simples. L'élément neutre pour le produit est
la série 1 définie par uo = 1 et un = 0, 'r/n ~ 1.
L'anneau est intègre: si u :f:. 0 et v :f:. 0, avec p = inf{n, Un :f:. O} et
q = inf{n,vn :f:. O} on aura Wp+q = UpVq :f:. 0, donc w :f:. O.
Les vérifications de la structure d'anneau ne présentent aucune difficulté.
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Il est plus intéressant de voir ce que donne la convergence vis-à-vis du
produit et là, ce n'est pas triste! Faisons le ménage en dégageant quelques
certitudes.
THÉORÈME 11.63. - La série produit w d'une série u absolument convergente, et d'une série v convergente, est elle même convergente, et pour les
sommes on a l'égalité W = UV.