Séries numériques, séries dans les espaces vectoriels normés
29
où Vn est donc le terme général diminué de son équivalent.
Ona
V -(-l)n(
1
_..!:.)-(-l)n(n-n-(-l)n)
n -
n+(-l)n n -
n(n+(-l)n)
-1
-1
soit Vn = n(n+ (-l)n) ' .::: n 2 : la série des Vn est absolument con(-lr
vergente, donc convergente, la série des - - - est alternée convergente
n
suivant son critère, donc la série u dont le terme général Un est somme
des termes généraux de 2 séries convergentes est elle-même convergente.
Mais j'anticipe sur le paragraphe suivant par cette opération sur les séries.
5. Opérations algébriques sur les séries
Les séries u de terme général Un dans E, espace vectoriel normé
complet, sont finalement les suites d'éléments de E, donc les éléments
de S = EN, ensemble des applications de N dans E.
J'introduis les sous-ensembles Sc (des séries convergentes), SD (des
séries divergentes), SAC (des séries absolument convergentes), et Ssc
(des séries semi-convergentes).
On a des partitions de Sen Sc USD, et de Sc en SAc U Ssc·
Par ailleurs, E étant un espace vectoriel, S en est un, espace vectoriel
des applications de N dans E. Qu'en est-il des parties de S introduites?
THÉORÈME 11.59. - L'ensemble S A·C des séries absolument convergentes
est un sous-espace vectoriel de l'ensemble Sc des séries convergentes, lui
même sous-espace vectoriel de l'espace S. De plus l'application qui à une
série u convergente associe sa somme U est une forme linéaire. (On suppose
bien sûr E complet.)
Il suffit en fait de remarquer que, si u et v sont les séries de termes
généraux Un et Vn. et w la série de terme général ÀUn + µvn. (donc w =
,\u + µv), on a, pour les sommes partielles, la relation Wn =,\Un+ µVn
donc si u et v sont dans Sc, U = lim Un et V= lim Vn existent,
n-++oo
n-++oo
et la continuité de l'addition et du produit par un scalaire dans un espace
vectoriel normé impliquent l'existence de W = lim Wn et l'égalité
n-++oo
W = ,\U + µV : on a bient Sc sous-espace vectoriel de S et linéarité de
l'application qui à u associe sa somme.
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où Vn est donc le terme général diminué de son équivalent.
Ona
V -(-l)n(
1
_..!:.)-(-l)n(n-n-(-l)n)
n -
n+(-l)n n -
n(n+(-l)n)
-1
-1
soit Vn = n(n+ (-l)n) ' .::: n 2 : la série des Vn est absolument con(-lr
vergente, donc convergente, la série des - - - est alternée convergente
n
suivant son critère, donc la série u dont le terme général Un est somme
des termes généraux de 2 séries convergentes est elle-même convergente.
Mais j'anticipe sur le paragraphe suivant par cette opération sur les séries.
5. Opérations algébriques sur les séries
Les séries u de terme général Un dans E, espace vectoriel normé
complet, sont finalement les suites d'éléments de E, donc les éléments
de S = EN, ensemble des applications de N dans E.
J'introduis les sous-ensembles Sc (des séries convergentes), SD (des
séries divergentes), SAC (des séries absolument convergentes), et Ssc
(des séries semi-convergentes).
On a des partitions de Sen Sc USD, et de Sc en SAc U Ssc·
Par ailleurs, E étant un espace vectoriel, S en est un, espace vectoriel
des applications de N dans E. Qu'en est-il des parties de S introduites?
THÉORÈME 11.59. - L'ensemble S A·C des séries absolument convergentes
est un sous-espace vectoriel de l'ensemble Sc des séries convergentes, lui
même sous-espace vectoriel de l'espace S. De plus l'application qui à une
série u convergente associe sa somme U est une forme linéaire. (On suppose
bien sûr E complet.)
Il suffit en fait de remarquer que, si u et v sont les séries de termes
généraux Un et Vn. et w la série de terme général ÀUn + µvn. (donc w =
,\u + µv), on a, pour les sommes partielles, la relation Wn =,\Un+ µVn
donc si u et v sont dans Sc, U = lim Un et V= lim Vn existent,
n-++oo
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et la continuité de l'addition et du produit par un scalaire dans un espace
vectoriel normé impliquent l'existence de W = lim Wn et l'égalité
n-++oo
W = ,\U + µV : on a bient Sc sous-espace vectoriel de S et linéarité de
l'application qui à u associe sa somme.