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Analyse fonctionnelle
a2n+l :::;; 0 si 2n + 1 ~ no, d'où la décroissance de la suite des S2n. et
avec 2po pair supérieur à no, on aura, si 2n ~ 2po:
S2n = S2PO-l + (a2p0 -a2p0+i) + ... + (a2n-2-a2n-1) +a2n ~ S2p0 -1
la suite des S2n est décroissante minorée, on aurait de même la suite des
S2n+ 1 croissante majorée, et avec S somme de la série on a donc, pour
tout n tel que 2n ~no, l'encadrement
Mais alors, R2n = S - S2n est négatif, donc du signe de
U2n+1 = -a2n+l et
on a bien R2n du signe du premier terme négligé, et de module majoré
par le module du premier terme négligé.
L'encadrement S2n+l ~ S:::;; S2n+2 conduirait de même à
0:::;; S - S2n+1 = R2n+1:::;; S2n+2 - S2n+1 = a2n+2
R2n+l est positif, donc du signe du premier terme négligé et majoré par
a2n+2• module du premier terme négligé.
•
Le cas des an négatif conduirait au même résultat.
Cette évaluation du reste est fondamentale dans les séries alternées.
11.58. Attention à un piège : il arrive fréquemment que dans l'étude d'une
série alternée Un, un équivalent Vn de JunJ tende vers 0 en décroissant
mais ceci ne prouve pas que JunJ décroit : et le Théorème 11.57 ne
s'applique pas.
(-l)n
1 1
Exemple. Un=
( ) , pour n ~ 2. On a JunJ
-, - tend vers
n + -1 n
n-++oo n n
1
0 en décroissant, mais Junl ne décroit pas car Ju2n+1I
2 n alors que
1
Ju2nl = 2 n + 1 donc Ju2n+il > Ju2nl·
Que faire dans un tel cas? Et bien utiliser l'équivalent (-l)~ de Un
n
pour écrire
Un=(-l)n +( (-l)n _(-l)n)=(-l)n +vn
n
n+(-l)n
n
n