Séries numériques, séries dans les espaces vectoriels normés
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Le cas Un = (-I)nan avec des an tous négatifs se ramène au cas
des an tous positifs en changeant u en -u, aussi suppose-t-on que u
a son terme général sous la forme Un = (-l)nan, avec les an ~ 0,
lim an= 0 et, Vn EN, an+l ~an.
n-++oo
Ona
B2n+2 - B2n = U2n+I + u2n+2 = a2n+2 - a2n+l ~ 0,
et
B2n+l - B2n-l = U2n + U2n+I = a2n - a2n+l ~ O.
La suite des B2n est décroissante, minorée car
comme somme de termes positifs, elle converge donc : soit
S' = lim B2n·
n-++oo
La suite des ( B2n+ 1) est croissante, elle est majorée car
puisque a2ri+l et les a2k-1 - a2k sont positifs.
Elle converge donc : soit 8 11 = lim B2n+ 1 ·
n-++oo
Comme on a B2n+l - B2n = u2n+I qui tend vers 0, on a
8 1 = 8 11 = lim Sn d'où la convergence de la série.
n-++oo
•
Quand une série alternée converge suivant son critère, on dispose d'un
encadrement facile du reste.
THÉORÈME 11.57. - Soit une série alternée u qui converge suivant le critère
des séries alternées, et no tel que pour n ~ no, le module du terme général
décroisse. Pour n ~ no, le reste d'ordre n de la série est du signe du premier
terme négligé, majoré en module par la valeur absolue du premier terme
négligé.
Il faut comprendre que le module du terme général peut commencer
par ne pas décroitre, d'ailleurs la série peut être alternée uniquement
à partir d'un certain rang. On adapte en conséquence la justification du
théorème 11.56. Supposons donc que Un s'écrive (-I)nan, pour n ~no,
avec les an positifs décroissants. On aura encore B2n+2 - B2n = a2n+2 -