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Analyse fonctionnelle
CRITÈRE DE RIEMANN 11.52. - Soit une série u de terme général réel ou
complexe Un. S'il existe a> 1 tel que lim n°'JUnJ existe la série converge
n-++oo
absolument, donc elle converge.
Enoncé valable aussi pour des Un dans E espace vectoriel normé
complet, si lim n°'IJunJI existe, avec a> 1.
•
n-++oo
CRITÈRE DE CAUCHY 11.53. - Soit une série u de terme général Un dans E
espace vectoriel normé complet. Si lim y'jjUJj" = >. existe, si >. < 1 la
n-++oo
série converge absolument, (donc elle converge), si>. > 1 la série diverge; si
>. = 1 on ne conclut pas, sauf si >. = 1 est atteinte par valeurs supérieures
auquel cas il y a divergence.
Le seul point à justifier, c'est la divergence quand >. > 1, ou >. = 1 +.
Or on sait dans ce cas que JlunJI ne tend pas vers 0, (voir Théroème
11.35), donc Un ne tend pas vers 0 dans E : il y a divergence.
•
CRITÈRE DE D'ALEMBERT 11.54. - Soit une série u de terme général Un non
nul dans E espace vectoriel normé complet. Si lim 11 ~n+ ~ Il = >. existe,
n-++oo
Un
si >. < 1 la série converge absolument, donc elle converge, si >. > 1 la série
diverge; si >. = 1 on ne conclut pas, sauf si >. = 1 + auquel cas il y a
divergence.
Là encore, si >. > 1, la suite des JJUnll ne tend pas vers 0 (voir
Théorème 11.46) donc la série diverge puisque Un ne tend pas vers 0 dans
E. Il en est de même si>.= 1 est atteinte par valeurs supérieures.
•
Il nous reste à parler des séries semi-convergentes, dans le cas réel,
le cas complexe s'y ramenant, ainsi en fait que celui des séries à valeurs
dans un espace vectoriel normé de dimension finie. Pour étudier de telles
séries on fait souvant intervenir les opérations sur les séries, ce qui sera
traité dans les paragraphes suivants. Mais il y a un type particulier de
séries semi-convergentes, les séries alternées convergentes.
DÉFINITION 11.55. - Une série u réelle est dite alternée si son terme général
peut s'écrire Un = (-l)nan avec les an tous positifs,.(ou les an tous
négatifs).
THÉORÈME 11.56. - (Critères des séries alternées). Soit une série alternée
dont le module du terme général tend vers 0 en décroissant, alors la série
converge.
Analyse fonctionnelle
CRITÈRE DE RIEMANN 11.52. - Soit une série u de terme général réel ou
complexe Un. S'il existe a> 1 tel que lim n°'JUnJ existe la série converge
n-++oo
absolument, donc elle converge.
Enoncé valable aussi pour des Un dans E espace vectoriel normé
complet, si lim n°'IJunJI existe, avec a> 1.
•
n-++oo
CRITÈRE DE CAUCHY 11.53. - Soit une série u de terme général Un dans E
espace vectoriel normé complet. Si lim y'jjUJj" = >. existe, si >. < 1 la
n-++oo
série converge absolument, (donc elle converge), si>. > 1 la série diverge; si
>. = 1 on ne conclut pas, sauf si >. = 1 est atteinte par valeurs supérieures
auquel cas il y a divergence.
Le seul point à justifier, c'est la divergence quand >. > 1, ou >. = 1 +.
Or on sait dans ce cas que JlunJI ne tend pas vers 0, (voir Théroème
11.35), donc Un ne tend pas vers 0 dans E : il y a divergence.
•
CRITÈRE DE D'ALEMBERT 11.54. - Soit une série u de terme général Un non
nul dans E espace vectoriel normé complet. Si lim 11 ~n+ ~ Il = >. existe,
n-++oo
Un
si >. < 1 la série converge absolument, donc elle converge, si >. > 1 la série
diverge; si >. = 1 on ne conclut pas, sauf si >. = 1 + auquel cas il y a
divergence.
Là encore, si >. > 1, la suite des JJUnll ne tend pas vers 0 (voir
Théorème 11.46) donc la série diverge puisque Un ne tend pas vers 0 dans
E. Il en est de même si>.= 1 est atteinte par valeurs supérieures.
•
Il nous reste à parler des séries semi-convergentes, dans le cas réel,
le cas complexe s'y ramenant, ainsi en fait que celui des séries à valeurs
dans un espace vectoriel normé de dimension finie. Pour étudier de telles
séries on fait souvant intervenir les opérations sur les séries, ce qui sera
traité dans les paragraphes suivants. Mais il y a un type particulier de
séries semi-convergentes, les séries alternées convergentes.
DÉFINITION 11.55. - Une série u réelle est dite alternée si son terme général
peut s'écrire Un = (-l)nan avec les an tous positifs,.(ou les an tous
négatifs).
THÉORÈME 11.56. - (Critères des séries alternées). Soit une série alternée
dont le module du terme général tend vers 0 en décroissant, alors la série
converge.