Séries numériques, séries dans les espaces vectoriels normés
25
a < 1, en plus simple. Soit a = 1 - a, a > 0, cette fois on a
Un+l
1 a
( 1)
1 a
1
- - = 1- - + - + o - = 1- - + -(1+o(l))~1- -
Un
n
n
n
n
n
n
a
pour n assez grand puisque -(1 + o(l)) est alors positif.
n.
Après cette longue étude concernant les séries de terme général
réel positif, on peut revenir aux séries de terme général réel de signe
quelconque, ou complexe, ou plus généralement dans un espace vectoriel
normé E.
4. Critères de convergence des séries à valeurs réelles
ou complexes
Soit une série u de terme général Un réel ou complexe. Comme IR
et C sont complets on a vu, (Théorème H.12) que la convergence absolue
implique la convergence. Il en est de même si u est à valeurs dans E espace
vectoriel normé complet. En appliquant les critères des séries positives
aux l lun 11 on conclura donc en ce qui concerne la convergence absolue. Il
restera à examiner le cas des séries convergentes sans être absolument
convergentes, appelées séries semi-convergentes.
Une fois pour toute, si on parle de convergence absolue, l'espace E est complet.
11.51. Dans le cas des Un complexes, en posant Un = an + ibn, avec
an et bn réels, avec des notations évidentes pour les sommes partielles
on a Un = An + iBn, et la topologie sur C, (donc sur IR 2 ) montre que ( lim Un= U existe) <=:? ( lim An= A existe, ainsi que
n-+oo
n-+oo
lim Bn = B), et de plus U = A + iB.
n-+oo
La série de terme général complexe Un converge donc si et seulement
si les séries réelles de termes généraux Re(un) et Im(un) convergent.
En fait, la série des Un converge absolument si et seulement si les
séries des Re( Un) et lm( un) convergent absolument.
En effet, avec Un = an +ibn, on a lanl ~ lunl et lbnl ~ lunl mais
aussi lunl ~ lanl + lbnl. d'où une justification de ce résultat.