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Analyse fonctionnelle
appliquant la formule de Taylor Lagrange à l'ordre 2, entre 0 et x non
nul, il existe O(x) dans JO, 1[ tel que
2
f(x) = f(O) + xf'(O) + ~ !"(O(x)).
On a J'(x) = -k(l + x)-k-l donc J'(O) = -k,
puis J"(x) = k(k + 1)(1 + x)-k- 2 est à valeurs positives, donc
1
f(x) ;;?; f(O) - kx. Avec x = -, et f(O) = 1, il vient
n
1
On obtient donc,
1
Vn;;?; no,
1
or, avec k > 1, la série des - converge, donc la série u converge,
nk
(Théorème 11.31).
•
Ce critère semble d'un emploi difficile, mais pas tellement. Souvent
le terme général Un est fonction de n, et le rapport Un+ 1 devient une
1 Un
fonction g( n) qui admet un développement limite en - , du type
n
Un+l
a
(1)
Un+l
- - = 1 - - + o - ; lorsque - - tend vers 1.
Un
n
n
Un
Si a > 1, il y a convergence; si a < 1 divergence et ... si a = 1 on ne
conclut pas, donc la conclusion est rapide, une fois Un+l connu.
Si a > 1, avec a = 1 + 2a, a > 0, on a
Un
Un+I = 1 - (l +a) - ~(1 + o(l)), lim (1+o(l))=1,
Un
n
n
n-++oo
positif, donc 1 + o(l) est positif pour n assez grand d'où
Un+ 1 ~ 1 - ( 1 + a) avec 1 + a > 1 : il y a convergence. Même travail si
Un
n