Séries numériques, séries dans les espaces vectoriels normés
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Si >. = 0 on part de 0 ~ an+ 1 ~ e, on effectue le même travail, les
an
termes inférieurs de la double inégalité étant toujours nuls, on arrive à
0 ~ (an)l/n ~ 2e pour n assez grand, donc lira ~=O.
n-++oo
Si >. = +oo, soit A > 0, 3no, Vn ;;;;: no, A ~ an+l. On a le point de
an .
départ, où A remplace>. - e, et sans>.+ e en majorant.
Le même travail conduit à
( a ) -
1
i
A ~ p+i ~ (a ) p+1
Ana
"' p+l
'
valable pour tout p > no, le minorant tend vers A donc devient supérieur
à A - 1 pour p assez grand, donc :
'-'A 3 E "'' '-' ....._
A - 1 ::::: (an)Iln,
v , ni
,,,,., vn ~ ni,
:::::::
ce qui prouve bien que lira ~ = +oo.
n-+oo
•
Lorsque, pour une série u de terme général positif Un, le rapport Un+ 1
Un
tend vers 1 par valeurs inférieures on peut dans certains cas conclure
grâce au critère de Duhamel.
THÉORÈME 11.50. - (Critère de Duhamel). Soit une série u de terme
général Un strictement positif (à partir d'un certain rang).
S'il existe no EN tel que Vn;;;;: no, Un+I ;;;;: 1 - ..!:., la série diverge.
Un
n
k
"''
v
Un+l
k
, .
S'il existe > 1, et no E ,,,,. tel que vn ;;;;: no, - - ~ 1 - - la serie
Un
n
converge.
1
.
Un+I
n - 1 .
Un+I
;;;
Dans le prenuer cas, - - ;;;;: - - soit encore - - ;;;;: - 1 - .
Un
n
Un
n-1
1
La série de terme général Vn = - - 1 , (n ;;;;: 2) diverge, donc la série
nu diverge aussi, (Théorème 11.31).
Dans le deuxième cas, c'est un peu plus subtil. Soit la fonction x ---+
f(x) = (1 + x)-k. Elle est de classe C 00 de] - 1, +oo[ dans R, en lui