22
· Analyse fonctionnelle
conclut à la convergence (lemme 11.43); alors que dans le deuxième cas,
Un+l
avec ê > 0 tel que >. - ê ~ 1 et no tel que Vn ~ no, - - ~ >. - ê ~ 1
Un
on conclut à la divergence puisque Un ne tend pas vers O.
•
Ces deux critères, Cauchy et d'Alembert, suscitent de l'agacement à
cause de ce cas où la limite est 1. Que peut on faire de plus? Si on trouve
1 comme limite par un critère, peut-il être utile d'appliquer l'autre? Et
bien non, comme le montre le théorème suivant.
THÉORÈME 11.49. - Soit une suite de nombres strictement positifs, an.
Si lim an+l = >..existe dans [O, +oo], alors lim ~ = >.aussi.
n-++oo an
n-++oo
Donc si on ne conclut pas par d'Alembert, inutile d'appeler Cauchy à
la rescousse, et si on ne conclut pas par Cauchy, d'Alembert ne pourra
rien car les an+l n'auront pas de limite, ou auront 1 pour limite.
an
Justifions le théorème, en supposant d'abord que >. E]O, +oo[. Soit
ê > 0, tel que >. - ê ~ 0, et no E N tel que Vn ~ no, on ait
an+l
,\ - ê ~ - - ~ ,\ + ê.
an
Le produit, terme à terme de ces inégalités entre nombres positifs,
pour n variant de no à p > no donne, après simplification
d'où
puis
Le minorant tend vers>. - ê, et le majorant vers >. + ê, lorsque p tend
vers l'infini, donc ils deviennent respectivement supérieurs à ( >. - ê) - ê
et inférieurs à(>.+ e) + ê, pour passez grand. On obtient donc:
ce qui prouve que lim ~ = >..
n-++oo