Séries numériques, séries dans les espaces vectoriels normés
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Si À= I +,on a aussi no E 1\1 tel que 'Vn ;;;i: no, I ~ Un+I ~ I + e on
Un
conclut donc encore à la divergence d'après le lemme 11.43.
.
I
.
Un+l
( n )°'
S1 À= I, l'exemple de Un = - , (qw donne - - =
- - I
n°'
~
n+
tendant vers 1) montre que suivant les valeurs de a, il y aura convergence
ou divergence.
•
REMARQUE 11.47. -Evaluation du reste d'ordre n, en cas de convergence.
Supposons trouvés k E]O, I[ et no tel que 'Vn ;;;i: no, Un+I ~ k.
Un
On a donc
donc
L
q
2
q
(I - kq)
kun
Un+p ~ Un(k + k + ... + k ) ~ kun
k ~ --k'
I -
I -
p=l
d'où un majorant du reste d'ordre n, si q tend vers l'infini,
kun
.
,
R,,, ~ I _ k, Un. dernier terme calcule.
Si on veut, sans calculer les Un, estimer le nombre de termes à calculer
pour obtenir une incertitude donnée, avec les mêmes hypothèses on a
,,,. kn-no+l
,,,. kn-no+p
Un+l :::::::
Un0 , ••• , Un+p:::::::
Un0
kn-no+l
ce qui conduit à R,,, ~ I _ k Uno, ce qui permet une évaluation de n,
sans avoir à calculer Un 0 +i. Uno+2• ... , Un.
•
Passons à un raffinement à l'aide des limites supérieures et inférieures.
THÉORÈME 11.48. - Soit une série u de terme général Un strictement positif
'
. d'
.
s· 1·
Un+l
\
I l , .
.
a partir un certain rang. i 1m sup - - = " < a sene converge; si
n-++oo Un
1 . · f Un+l
'
I l ' · d"
1m m - - = " > a serie iverge.
n-++oo Un
C'est toujours le même type de justification. Dans le premier cas, avec
~+1
ê > 0 tel que À+ ê < I et un no de 1\1 tel que 'Vn ;;;i: no, - - ~ À+ ê, on
~