20
Analyse fonctionnelle
divergence. (Intuitivement, les termes, positifs, peuvent croître de temps
en temps si, après, une brusque décroissance annule par anticipation les
effets de la croissance qui suivra).
EXEMPLE 11.45. - Soient a et b réels positifs, on pose u2n = anbn et
U2n+l = an+lbn.
Si on forme Up+ 1 , le rapport prend deux formes suivant la parité de p.
Up
On a u 2 p+l =a et u 2 p+ 2 = b.
u2p
u2p+l
Donc si a~ 1 et b ~ 1 la série diverge, si a< 1 et b < 1, elle converge
puisque, pour tout n, Un+! ~ k = sup (a, b) < 1.
Un
Mais si a < 1 et b ~ 1, ou a ~ 1 et b < 1, on ne peut conclure par
cette méthode .
...!..
_1_
...ti.!... _2._
Or ( u2p) 2p = .../O.b et ( u2p+ 1) 2p+ 1 = a 2p+1 b 2p+1 tend vers .../O.b si p
tend vers +oo, donc lim ~ = Jab, le critère de Cauchy (théorème
n->+oo
11.35) permet de conclure: si ab< 1, convergence, si ab> 1 divergence
et si ah = 1, l'examen direct de u2n montre que u2n = 1 donc la série
diverge car son terme général ne tend pas vers O.
1
En particulier si a = 3 et b = 4 , il y aura convergence de la série des
Un bien que pour une infinité d'indices, Un+ 1 ~ 1.
•
Un
3) Toutes ces conditions sont des conditions suffisantes de convergence
ou de divergence. Vous n'aurez jamais d'énoncé du type « comme la série
Un+l
converge - - reste ~ k < 1. .. »
Un
THÉORÈME 11.46. (Critère de d'Alembert). - Soit une série u de terme
général Un > 0 à partir d'un certain rang, et telle que lim Un+ 1 = >.
n->+oo Un
existe. Si >. < 1, la série converge; si >. > 1 elle diverge, si >. = 1 on ne
peut pas conclure, sauf si elle est atteinte par valeurs supérieures, auquel
cas il y a divergence.
Si>.< 1, avec e > 0 tel que >.+e = k < 1 et no EN tel que Vn ~no,
Un+l
- - ~ >. + ê = k < 1, le lemme 11.43 donne la convergence.
Un
Si>.> 1, soit e > 0 tel que>. - e ~ 1 et no EN tel que Vn ~no on
ait Un+l ~ >. - e ~ 1, il y a divergence car Un ne tend pas vers O.
Un
Analyse fonctionnelle
divergence. (Intuitivement, les termes, positifs, peuvent croître de temps
en temps si, après, une brusque décroissance annule par anticipation les
effets de la croissance qui suivra).
EXEMPLE 11.45. - Soient a et b réels positifs, on pose u2n = anbn et
U2n+l = an+lbn.
Si on forme Up+ 1 , le rapport prend deux formes suivant la parité de p.
Up
On a u 2 p+l =a et u 2 p+ 2 = b.
u2p
u2p+l
Donc si a~ 1 et b ~ 1 la série diverge, si a< 1 et b < 1, elle converge
puisque, pour tout n, Un+! ~ k = sup (a, b) < 1.
Un
Mais si a < 1 et b ~ 1, ou a ~ 1 et b < 1, on ne peut conclure par
cette méthode .
...!..
_1_
...ti.!... _2._
Or ( u2p) 2p = .../O.b et ( u2p+ 1) 2p+ 1 = a 2p+1 b 2p+1 tend vers .../O.b si p
tend vers +oo, donc lim ~ = Jab, le critère de Cauchy (théorème
n->+oo
11.35) permet de conclure: si ab< 1, convergence, si ab> 1 divergence
et si ah = 1, l'examen direct de u2n montre que u2n = 1 donc la série
diverge car son terme général ne tend pas vers O.
1
En particulier si a = 3 et b = 4 , il y aura convergence de la série des
Un bien que pour une infinité d'indices, Un+ 1 ~ 1.
•
Un
3) Toutes ces conditions sont des conditions suffisantes de convergence
ou de divergence. Vous n'aurez jamais d'énoncé du type « comme la série
Un+l
converge - - reste ~ k < 1. .. »
Un
THÉORÈME 11.46. (Critère de d'Alembert). - Soit une série u de terme
général Un > 0 à partir d'un certain rang, et telle que lim Un+ 1 = >.
n->+oo Un
existe. Si >. < 1, la série converge; si >. > 1 elle diverge, si >. = 1 on ne
peut pas conclure, sauf si elle est atteinte par valeurs supérieures, auquel
cas il y a divergence.
Si>.< 1, avec e > 0 tel que >.+e = k < 1 et no EN tel que Vn ~no,
Un+l
- - ~ >. + ê = k < 1, le lemme 11.43 donne la convergence.
Un
Si>.> 1, soit e > 0 tel que>. - e ~ 1 et no EN tel que Vn ~no on
ait Un+l ~ >. - e ~ 1, il y a divergence car Un ne tend pas vers O.
Un