Séries numériques, séries dans les espaces vectoriels normés
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Revenons au critère de Cauchy.
THÉORÈME 11.42. - Soit une série de terme général positif Un. Si
lim sup ~ = >. existe, si >. < 1 la série converge, si >. > 1 elle diverge,
n-++oo
si >. = 1 on ne conclut pas.
En effet, si >. < 1 et si e > 0 est tel que >. + e < 1, on a un no tel que
'Vn ~ no, ~ ~ >. + e < 1 : la série est convergente (lemme 11.34).
Mais si>. > 1, avec e > 0 tel que.>.- e ~ 1, on a une infinité d'indices
n tels que ~ ~ 1, la suite Un ne tend pas vers 0 et la série diverge.
1
Les séries en-, (pourquoi se fatiguer) donnent des exemples de limn°'
ite, (donc de limite supérieure) égale à 1, avec convergence ou divergence .
•
Critère de d'Alembert
LEMME 11.43. - Soit une série de terme général Un strictement positif à
partir d'un certain rang.
S'il existe k, avec 0 < k < 1, et no E N tel que, 'Vn ~ no on ait Un > 0
et Un+ 1 ~ k < 1, la série converge.
Un
S •·1 ·
"'' l
v
...._
un+I ....... 1 l , · d"
i existe no E '"' te que vn -, :;:; no, - - -:;:; , a serie werge.
Un
En effet, avec Vn = kn, terme général d'une série géométrique
· k
]0 [
Un+l
Vn+I
,
convergente s1
E , 1 , dans le 1er cas on a - - ~ - - d'ou la
Un
Vn
convergence de la série des Un d'après le Théorème 11.31.
Par contre, dans le deuxième cas, 'Vn ~ no, Un+I ~ Un d'où finalement, 'Vn ~no on a Un ~ Uno > 0: Un ne tend pas·vers 0 donc la série
diverge.
•
11.44. Attention aux points suivants
uffi
. Un+l
1) Il ne s t pas d'avoir - - < 1 pour tout n assez grand pour
conclure à la convergence. Exe:le, Un= - 1 - , Un+I = n + 1 < 1
n+l
Un
n+2
et il y a divergence.
2) Contrairement au lemme préliminaire au critère de Cauchy, il ne
suffit pas d'avoir Un+I ~ 1 pour une infinité de termes pour conclure à la
Un