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Analyse fonctionnelle
Un exemple valant mieux qu'un discours, la suite (Xn) définie par
1
X2n = - - 1 et X2n+i = -n admet 0 pour plus grande limite, bien que
n+
la suite ne converge pas.
On parle encore de limite supérieure, que l'on note lim sup Xn·
n-->+oo
On définirait de même la plus petite limite, ou limite inférieure, notée
lim inf, par :
DÉFINITION 11.38. - On dit qu'une suite réelle (xn)nEN admet une plus
petite limite, l, notée lim inf Xn = l, si on a :
n-->+oo
Ve > 0, 3no E N, Vn ;;;.: no, l - e ~ Xn,
et si le cardinal de l'ensemble des n tels que Xn ~ l + ê est infini.
Une suite réelle (xn)nEN n'a pas forcément de limite supérieure, ou
de limite inférieure finie, mais si elle admet une limite supérieure, (resp.
inférieure), elle est unique. En effet supposons qu'il existe l et l 1 distinctes,
qui soient limites supérieures, avec l < l' par exemple.
Soit ê = l' ; l, on doit avoir l'existence d'un no tel que Vn ;;;.: no,
Xn ~ l + ê < l' - ê, et en même temps l'existence d'une infinité d'indices
n tels que l' - ê ~ Xn : c'est impossible.
REMARQUE 11.40. - Si une suite (xn)nEN est convergente, sa limite lest
à la fois limite supérieure et limite inférieure.
REMARQUE 11.41. - Si l 1 = lim sup Xn et l 11 = lim inf Xn existent, avec
n-->+oo
n-->+oo
l' ~ l 11 , en fait l 1 = l" et alors la suite converge vers cette valeur.
l" - l'
Car si l' < l 11 , avec ê = - - 3 - , on aurait un no et un ni dans 1\1 tels
que
d'où
Vn ;;;.: no, Xn ~ l' + ê
et Vn;;;.: ni, l 11 - ê ~ Xn
Vn;;;.: sup (no, ni) Xn ~ l' + ê < l" - ê ~ Xn
c'est absurde vu l'inégalité stricte. Donc l 1 = l 11 = l et alors on a
Vn ;;;.: sup(no, ni), l - ê ~ n ~ l + ê donc lim Xn = l.
n-->+oo