Séries numériques, séries dans les espaces vectoriels normés
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Dans le deuxième cas, Un ne tend pas vers 0 donc la série des Un
diverge, (théorème 11.7).
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THÉORÈME 11.35. (Critère de Cauchy). - Soit une série de terme général
positif Un. Si lim ~ = À existe, si À < 1 la série converge, si À > 1
n->+oo
elle diverge, si À = 1 on ne peut pas conclure, sauf si la limite est atteinte
par valeurs supérieures auquel cas il y a divergence.
Si À< 1, avec c E]O, 1-.X[, 3no, 'Vn ~no, ~ ~ .X+c < 1 le lemme
11.34 s'applique et donne la convergence, alors que si À > 1, en choisissant
c dans ]O,.X-1[ cette fois, on aura ni tel que 'Vn ~ni, ~ ~ À-c > 1,
le lemme 11.34 s'applique encore et Un ne tend pas vers O. Si ~ tend
vers 1 par valeurs supérieures, les Un restent supérieurs à 1 pour n assez
grand : il y a divergence.
Enfin, soit Un = ~, (pour n ~ 1), on a nJü;;: = _..;.. = e - ~ Log n,
n a
yu.n
-
nn
tend vers 1, pour tout a, or la série converge ou diverge suivant la place
de a par rapport à 1.
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REMARQUE 11.36. - En cas de convergence, si on a k dans ]O, 1 [et no entier
tel que 'Vn ~no. ~ ~ k, on peut évaluer le reste d'ordre n ~no - 1.
En effet, 'Vp ~ no, on a Up ~ kP, d'où
kn+i
et si q tend vers +oo on a Rn ~ --k, une telle majoration permettant
1de trouver n pour avoir une incertitude connue.
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En utilisant la notion de limite supérieure, (ou de plus grande limite)
on va pouvoir raffiner le critère de Cauchy. Rappelons que :
DÉFINITION 11.37. - On dit qu'une suite réelle (xn)neN admet une limite
supérieure (ou plus grande limite), l, si l vérifie :
'Ve > 0, 3no E N, 'Vn ~ no, Xn ~ l + c
et si le cardinal de l'ensemble des n tels que Xn ~ l - c est infini.