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Analyse fonctionnelle
Un
Un-1
.,, Un1 d' ,
,
Uni
0
On a donc -
~ - - ~ ... ; : : : : : , - - ou, avec "' = - - > ,
Vn
Vn-1
Vn1
Vn1
l'inégalité Un ~ ÀVn pour tout n ;;;;: n 1 : il en résulte bien que si v converge,
la série des Àvn converge, celle des Un aussi, toujours d'après le théorème
11.22.
•
Venons en au cœur du sujet, les critères de convergence pour les
séries à termes positifs.
Critère de Riemann, dit en n°'un
THÉORÈME 11.32. - Soit une série u de terme général positif Un. S'il existe
a réel tel que lim n°'un = À existe avec À > 0, si a > 1 la série converge
n->+oo
et si a ~ 1 elle diverge.
À
On a en effet Un équivalent à -
donc les deux séries sont de
n°'
même nature (corollaire 11.25), et la connaissance des séries de Riemann
(corollaire 11.18), permet de conclure.
•
REMARQUE 11.33. - S'il existe a > 1 tel que lim n°'un = 0, la série
n->+oo
converge, et s'il existe a~ 1 tel que lim n°'un = +oo, elle diverge.
n->+oo
Car dans le 1er cas, Un positif est o ( n~) avec a > 1, et dans le 2ème
cas Un est infiniment grand par rapport à __!_ avec a ~ 1 : les remarques
n°'
11.26 et 11.27 permettent de conclure.
Critère dit de Cauchy
On va procéder par étapes.
LEMME 11.34. - Soit une série de terme général positif Un· S'il existe une
constante k avec 0 ~ k < 1, et un entier no tel que pour tout n ;;;;: no,
~ ~ k, la série converge. S'il existe une infinité d'indices n tels que
~ ;;;;: 1, la série diverge.
Dans le premier cas, pour n assez grand, on a 0 ~ Un ~ kn, terme
général d'une série géométrique convergente, (raison E [O, 1[), le théorème
11.22 permet de conclure.