Séries numériques, séries dans les espaces vectoriels normés
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d'où, si q tend vers +oo, (1 - e)Rp ~ Sp ~ (1 + e)Rp, en notant Rp et
Sp les restes d'ol'.dre p des séries u et v.
On a bien:
Ve> 0, 3no, Vp ~no, (1- e)Rp ~ Sp ~ (1 + e)Rp:
les restes sont équivalents.
Si les deux séries divergent, on repart de la relation 11.30 que l'on
somme pour n variant de no à p > no : on a
(1 - c)(Up - Un 0 -1) ~ Vp - Vno-1 ~ (1 + e)(Up - Un 0 -1)
(en notant, comme d'habitude, Up et Vp les sommes partielles d'ordre p).
On en déduit l'encadrement :
or les Up deviennent > 0 pour n assez grand, ( lim Up = +oo) d'où,
.
p~+oo
pour p assez grand :
1
Vno-1 - (1 - e)Uno-1
Vp
1
Vno-1 - (1 + e)Uno-1
-e+
U.
~ U ~ +e+
U.
.
p
p
p
Le minorant tend vers 1 - e donc devient supérieur à 1 - 2e pour p assez
grand, et le majorant tend vers 1 + e donc devient inférieur à 1 + 2e pour
passez grand, d'où:
V.
Ve> 0, 3p1, Vp ~ p1, 1- 2e ~ J. ~ 1+2e
p
ceci traduit l'équivalence des sommes partielles, qui sont des infiniment
grands.
•
Avant de passer aux critères de convergence, un dernier critère de
comparaison :
THÉORÈME 11.31. - Soient deux séries u et v de termes généraux strictement positifs Un et Vn pour n assez grand. S'il existe no tel que, Vn ~ no,
Un+l ,,, Vn+l al
. l , .
l
, .
/
. l
- - :::::: - - ors si a sene v converge, a sene u converge, 1et si a
Un
Vn
série u diverge, la série v diverge).
Le deuxième résultat n'est que la contraposition du premier. On
suppose donc que pour n ~ ni ~ no, on a Un > 0, Vn > 0 et l'inégalité
Un+l ,., Vn+l
. d
Un+l ,,, Un
- - :::::: - - qw onne - - :::::: - .
Un
Vn
Vn+l
Vn