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Analyse fonctionnelle
En effet le no. l'emporte sur (Log n )f3 d'où la présomption de convergence si a > 1.
Supposons a > ~.posons a = 1+2a avec a > O. On« pique» à n 1 + 2 a
le terme na pour « effacer» le (Log n )f3.
1
1
. 1
On a Un = - 1 + · (
)/3 négligeable par rapport à - 1 + (et ce
n a na Logn
n a
1
pour tout (3) puisque a> O. Comme 1 +a> 1, la série des nl+a converge
donc aussi celle des Un.
Par contre si a < 1, on pose a = 1 - 2a avec a > 0 et alors
1
na
na
Un = - - ·
avec lim
= +oo, et ce pour tout
nl-a (Logn)/3
n->+oo (Logn)/3
(3, puisque a > 0: Un est infiniment grand par rapport à - 1
1 terme
n -a
général d'une série divergente, donc la série des Un diverge.
Enfin si a = 1, Un = ( 1 )/3. Si f3 ~ 0, ( 1 )/3 ~ 1 (dès que
n Logn
Logn
1
Log n ~ 1 soit n ~ 3) d'où Un ~ - : la série diverge, alors qu'avec
n
.
f
1
f3 > 0, la fonction t...,.. t(Log t)/3 est positive décroissante pour t > e, et
/+oo f(t)dt = [ ((3 _ l)(L~g t)/3-l] +oc converge pour f3 > 1. Il résulte
de la remarque 11.17 que la série des f(n) est alors convergente. Enfin
pour f3 E]O, !] l'intégrale diverge, donc la série aussi.
Dans le cas où Un et Vn sont positifs équivalents, on peut encore
préciser les résultats.
THÉORÈME 11.29. - Soient deux séries u et v de termes généraux positifs
Un et Vn équivalents lorsque n tend vers l'infini. En cas de divergence,
les sommes partielles sont des infiniment grands équivalents, en cas de
convergence, les restes sont des infiniment petits équivalents.
11.80. On sait que :
Ve> 0, 3no, Vn ~no, un(I - e) ~ Vn ~ un(I + e).
Si les deux séries convergent, on somme ces inégalités pour n entre
p + 1 et q ~ p + 1, si p ~ no :
q+l
q+l
q+l
(1- e) L Un~ L Vn ~ (1 + e) L Un
n=p+l
n=p+l
n=p+l