Séries numériques, séries dans les espaces vectoriels normés
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Soit c E]O, >.[, 3no, Vn ;;?: no, >. - c ::;; Un ::;; >. + c, d'où, puisque
Vn
Vn > 0 pour n « assez grand », il existe a = >. - c, b = >. + c, nombres
strictement positifs, et ni(;?; no) tel que Vn;;?: ni, avn::;; Un::;; bvn: les
deux séries sont de même nature d'après le corollaire 11.23.
•
COROLLAIRE 11.25. - Soit deux séries de termes généraux Un et Vn positifs.
Si Un et Vn sont équivalents quand n tend vers +oo, les deux séries sont
de même nature.
En effet, il existe une suite (xn)nEN qui converge vers 0, telle que
Un= Vn(l + Xn)· Soit é = ~· 3no, Vn;;?: no, lxnl::;; ~d'où
1
3
Vn
3vn
Vn ;;?: no, 2 ::;; 1 + Xn ::;; 2 ~ 2 ::;; Un ::;; 2
le corollaire 11.23 s'applique.
•
La premi,ère chose à faire, pour une série de terme général positif est
d'en chercher un équivalent (plus simple) pour étudier la nature.
Remarque. Soient toujours Un et Vn les termes généraux positifs de deux
séries u et v.
11.26. Si Un est négligeable par rapport à Vn. (on note Un= o(vn)J, si v
converge, la série u des Un converge; et si u diverge la série v diverge.
Soit en effet c = 1 par exemple, 3no, Vn ;;?: no, Un ::;; cVn soit ici
0 ::;; Un ::;; Vn : on est ramené au Théorème 11.22, d'où la conclusion.
11.27. De même, si Un est infiniment grand par rapport à Vn. (positif), la
convergence de u implique celle de v, et la divergence de v celle de u, car
cette fois, avec A= 1, 3ni, Vn;;?: ni, Un;;?: Vn et là encore le Théorème
11.22 s'applique.
•
Appliquons tout ce qui précède aux séries dites de Bertrand, qui
doivent être connues.
THÉORÈME 11.28. - La série de Bertrand, de terme général positif
1
Un =
(
)f3 est convergente pour a > 1, ou pour a = 1 et (3 > 1,
n° Logn
divergente sinon.