12
Analyse fonctionnelle
3. Critères de convergence pour les séries
de terme général positif
Nous connaissons la nature des séries géométriques et des séries de
1
Riemann, en - . Après avoir établi des critères de comparaison, nous en
n°'
déduirons des critères de convergence.
THÉORÈME 11.22. - Soient deux séries u et v de termes généraux Un et Vn
positifs à partir d'un certain rang et vérifiant l'inégalité Un ~ Vn à partir
d'un certain rang. Mors si u diverge, v diverge, et si v converge, u converge.
La phrase à partir d'un certain rang signifie : 3no E N, 'ïln ~ no
... Comme on conclut sur la nature des séries on fait la justification en
supposant les Un et Vn positifs pour tout n, et l'hypothèse Un ~ Vn valable
aussi pour tout n, (on utilise donc le théorème 11.14).
En somm~nt les inégalités on obtient Un ~ Vn pour les sommes
partielles.
Donc si v converge, la suite des Vn est majorée, celle des Un aussi, donc
la série u converge, (on applique le théorème 11.15). Par contraposition,
si u diverge, v diverge.
COROLLAIRE 11.23. - Soit deux séries u et v de termes généraux Un et
Vn positifs à partir d'un certain rang. S'il existe deux constantes a et b
strictement positives telles que aun ~ .'IJR ~ bun à partir d'un certain
rang, les deux séries sont de même nature.
On utilise le fait que, pour a # 0, la série des Xn et celle des a · Xn
sont de même nature puisque les sommes partielles Xn et aXn de ces 2
séries ont simultanément une limite.
Donc si v converge, la série des aun converge (11.22), donc celle des
Un aussi; et si u converge, la série des bUn converge aussi donc v converge
(11.22). Les deux séries sont simultanément convergentes, donc aussi
divergentes.
•
COROLLAIRE 11.24. - Soit deux séries u et v de termes généraux Un et Vn
positifs à partir d'un certain rang. Si lim Un = À existe avec À > 0,
n->+oo Vn
les deux séries sont de même nature.
L'existence de lim Un suppose les Vn non nuls, donc > 0 pour n
n->+oo Vn
assez grand.
Analyse fonctionnelle
3. Critères de convergence pour les séries
de terme général positif
Nous connaissons la nature des séries géométriques et des séries de
1
Riemann, en - . Après avoir établi des critères de comparaison, nous en
n°'
déduirons des critères de convergence.
THÉORÈME 11.22. - Soient deux séries u et v de termes généraux Un et Vn
positifs à partir d'un certain rang et vérifiant l'inégalité Un ~ Vn à partir
d'un certain rang. Mors si u diverge, v diverge, et si v converge, u converge.
La phrase à partir d'un certain rang signifie : 3no E N, 'ïln ~ no
... Comme on conclut sur la nature des séries on fait la justification en
supposant les Un et Vn positifs pour tout n, et l'hypothèse Un ~ Vn valable
aussi pour tout n, (on utilise donc le théorème 11.14).
En somm~nt les inégalités on obtient Un ~ Vn pour les sommes
partielles.
Donc si v converge, la suite des Vn est majorée, celle des Un aussi, donc
la série u converge, (on applique le théorème 11.15). Par contraposition,
si u diverge, v diverge.
COROLLAIRE 11.23. - Soit deux séries u et v de termes généraux Un et
Vn positifs à partir d'un certain rang. S'il existe deux constantes a et b
strictement positives telles que aun ~ .'IJR ~ bun à partir d'un certain
rang, les deux séries sont de même nature.
On utilise le fait que, pour a # 0, la série des Xn et celle des a · Xn
sont de même nature puisque les sommes partielles Xn et aXn de ces 2
séries ont simultanément une limite.
Donc si v converge, la série des aun converge (11.22), donc celle des
Un aussi; et si u converge, la série des bUn converge aussi donc v converge
(11.22). Les deux séries sont simultanément convergentes, donc aussi
divergentes.
•
COROLLAIRE 11.24. - Soit deux séries u et v de termes généraux Un et Vn
positifs à partir d'un certain rang. Si lim Un = À existe avec À > 0,
n->+oo Vn
les deux séries sont de même nature.
L'existence de lim Un suppose les Vn non nuls, donc > 0 pour n
n->+oo Vn
assez grand.