Séries numériques, séries dans les espaces vectoriels normés
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Cette suite est bornée. Comme ici elle décroit on va justifier qu'elle est
minorée, elle convergera donc, (et elle sera a fortiori bornée).
Ona:
( 1
Po+l
)
(
{k+l
)
Xn = /(PO) - Po
f(t)dt + ... + f(k) - jk f(t)dt + ...
+ (!(n -1) - L~ 1 f(t)dt) + f(n),
donc c'est une somme de termes positifs, (toujours f décroissante). La
suite (xn)nEN est donc décroissante, minorée par 0: elle converge.
L'idée exploitée pour comparer la somme Sn et l'intégrale Gn est de
découper l'intégrale en une somme indexée comme la somme Sn, pour
1
k
1k+l
comparer terme à terme f(k) avec
f(t)dt ou avec
f(t)dt.
k-1
k
Suivant que l'on veuille minorer ou majorer, le choix s'impose.
Si on se donne 4 entiers relatifs b, c, d, e et que l'on pose :
n+c .
1n+e
Sn = L f(k), G(n) =
f(t)dt et Xn =Sn - G(n),
k=:po+b
Po+d
on aura encore une suite monotone bornée donc convergente, le sens de
la monotonie dépendant cette fois de la place de c par rapport à e.
On a donc une gamme étendue d'applications.
•
EXEMPLE 11.21. - La suite de terme général
1 1
1
Xn = 1 + 2 + 3 + ... + n - Log n admet une limite, ' Y :::::: 0.571, (appelée
constante d'Euler) et ce résultat est bien utile.
Une dernière remarque. Soit toujours f positive décroissante de
[O, +oo[ dans R+ (ou de [a, +oo[ dans IR+). Si au lieu de «découper»
aux valeurs entières, on utilise le terme général Un d'une suite strictement croissante qui diverge vers +oo, et que l'on introduit la série de
1
un+l
terme général
f(t)dt, tout ce qui précède s'applique et cette série
Un
J+oo
est de même nature que
f(t)dt.