1 O
Analyse fonctionnelle
valable si p - 1 ~ a, (et ceci pour p ~ n + 1) donc finalement si n ~ a.
Pour tout q ~ n + 1, on a
1 q+l
q
1q
1 n+l
p=n+l
n
d'où, en passant à la limite si q tend vers +oo :
1 +00
1+00
f(t)dt ~ Rn ~
f(t)dt.
n+l
n
Si on note S la somme de la série et Sn la somme partielle d'ordre n,
comme Rn = S - Sn. on a finalement
Sn+ 1+oo f(t)dt ~ S ~ Sn + 1+oo f (t)dt
n+l
n
d'où, en prenant pour valeur de S, non pas Sn mais la moyenne
11n+l
arithmétique des deux bornes, une incertitude de 2 n f(t)dt.
REMARQUE 11.20. - En cas de divergence de la série des f ( n) et de
n
l'intégrale, c'est que les quantités positives Sn = L f(k) et F(n) =
k=O
Ion f(t)dt tendent vers +oo sin tend vers +oo, donc sont des infiniment
grands. Ces infiniment grands sont équivalents, bien plus la différence
Sn - F(n) admet une limite sin tend vers +oo.
On suppose ici f positive décroissante sur (0, +oo[. Si ce n'était vrai
que sur [a, +oo[ avec a > 0, on introduirait un entier Po ~ a, et on
travaillerait sur les sommes t f(k) et sur l'intégrale ln f(t)dt.
k=po
Po
Soit donc
n
ln
Sn= L f(k), G(n) = f(t)dt et Xn =Sn - G(n)
k=po
PO
La suite (xn)n~Po est monotone:
car Xn+l - Xn = f(n + 1) - J;:+l f(t)dt ~ 0 puisque f décroit sur
[n, n+l].