Séries numériques, séries dans les espaces vectoriels normés
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convergence de la série étant équivalente à celle de l'intégrale impropre
on a bien le résultat.
•
REMARQUE 11.17. - Le résultat reste valable si l'hypothèse devient f
positive décroissante sur [a, +oo[, (a ~ 0), car en modifiant f sur [O, a]
en posant f(x) = f(a) sur ce segment on retrouve le théorème 11.16.
et on n'a pas modifié la nature de la série (théorème 11.14.) ni celle de
l'intégrale impropre en +oo.
•
COROLLAIRE 11.18. - Les séries dites de Riemann, de terme général
1
Un = 0 , pour n ~ 1 et a réel sont convergentes si et seulement si a > 1,
n
(et donc divergente pour a~ 1).
D'abord, si a ~ 0, la suite des Un ne converge pas vers 0, donc la série
1
diverge (Théorème 11.7). Puis si a > 0, la fonction t ~ t°' est strictement
positive décroissante sur [1, +oo[ donc la série des Un est de même nature
l
+oo dt
que l'intégrale impropre
- .
1
t°'
l
x dt
Pour a = 1,
- = Log X n'a pas de limite en +oo,
1
t
rx dt 1 ( 1 )
pour Q f. 1, 11 t°' = 1 - Q xOt-1 - 1 n'a de limite en +oo que
si a> 1.
•
REMARQUE 11.19. - En cas de convergence, on peut encadrer le reste.
L'étude d'une série ne se borne pas à en déterminer la nature, ce qui
est le plus facile. En cas de convergence, on aime calculer sa somme mais il
est rare qu'on y parvienne, d'où un problème de majoration (en norme), du
reste pour savoir avec quelle incertitude on connait la somme en calculant
une somme partielle. D'où l'intérêt de toute évaluation du reste.
On suppose donc qu'avec f positive décroissante de [a, +oo[ dans
[O, +oo[, la série des J(n), converge, donc fa+oo J(t)dt aussi.
OO
On veut évaluer le reste d'ordre n: Rn= L J(p).
p=n+l
Pour cela on utilise l'encadrement :
1
p+l
1p
J(t)dt ~ J(p) ~
f(t)dt
p
p-1