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Analyse fonctionnelle
-.. • ..
Pour tout t de [n, n + 1], on a J(n + 1) ~ J(t) ~ f(n), d'où en
rn+l
intégrant l'inégalité, f(n + 1) ~ ln f(t)dt ~ f(n), d'où l'on tire
Ln+l J(t)dt ~ f(n) ~ L~l J(t)dt pour n ;;i: 1.
n
En sommant ces inégalités, et en notant Un= .L f(k), il vient
k=O
rn+l
r
Jo f(t)dt ~ Un ~ f(O) + Jo f(t)dt.
Mais alors, si la série des f ( n) converge, la suite croissante des sommes
partielles Un est majorée, et comme VX ;;i: 0, 3n EN, X~ n + 1 on a
rx
r+l
F(X) = Jo f(t)dt ~ Jo J(t)dt ~ Un ~constante par rapport à X,
la fonction F étant majorée, l'intégrale impropre converge.
Réciproquement, si l'intégrale converge, Fest majorée, et comme Un ~
f(O) + F(n), la suite croissante des Un est majorée donc convergente. La